Regola di Bayes

Fondamenti di probabilità in Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Probabilità di due lanci di moneta

P(A e B) per eventi indipendenti

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A e B) per eventi dipendenti

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A e B) per eventi dipendenti (Cont.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A e B) è uguale a P(B e A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A e B) è uguale a P(B e A) (Cont.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Relazione di Bayes

$$ $$

Regola di Bayes

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Probabilità totale

Pezzi difettosi di tutti i fornitori in un diagramma di Venn

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Probabilità totale (Cont.)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Probabilità totale (Cont.)

Pezzi difettosi di tutti i fornitori in un diagramma di Venn

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Formula di Bayes

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Formula di Bayes (Cont.)

Formula di Bayes:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Probabilità che un pezzo provenga dal fornitore i, dato che è difettoso:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Formula di Bayes (Cont.)

Formula di Bayes: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Probabilità che un pezzo provenga dal fornitore i, dato che è difettoso:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes

Pezzi difettosi di tutti i fornitori in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi del fornitore 1 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi del fornitore 1 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi dei fornitori 1 e 2 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi dei fornitori 1, 2 e 3 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi dei fornitori 1, 2 e 3 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi dei fornitori 1, 2 e 3 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi del fornitore 1 su pezzi difettosi dei fornitori 1, 2 e 3 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Rappresentazione visiva della regola di Bayes (Cont.)

Pezzi difettosi del fornitore 1 su pezzi difettosi dei fornitori 1, 2 e 3 in un diagramma di Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Esempio fabbriche e pezzi in Python

Un certo componente elettronico è prodotto da tre fornitori: V1, V2 e V3.

La metà dei pezzi è prodotta da V1; V2 e V3 producono ciascuno il 25%. La probabilità che un pezzo sia difettoso dato che proviene da V1 è 1%, da V2 è 2%, da V3 è 3%.

Sapendo che il pezzo è difettoso, qual è la probabilità che sia stato prodotto da V1?

Esempio fabbriche e pezzi in Python (Cont.)

Sapendo che il pezzo è difettoso, trova la probabilità che sia stato prodotto da V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Esempio fabbriche e pezzi in Python (Cont.)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # Calcolo di P(V1|D)
print(P_V1_g_D)

Un pezzo scelto a caso e difettoso è prodotto da V1 con probabilità:

0.285714285714

Esercitiamoci con Bayes

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