Fondamenti di probabilità in Python
Alexander A. Ramírez M.
CEO @ Synergy Vision
Valore atteso: somma degli esiti possibili pesati per la loro probabilità.
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$
Il valore atteso di una variabile aleatoria discreta è la somma degli esiti possibili pesati per la loro probabilità.
Nel nostro caso, per il lancio della moneta otteniamo:
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$
Ogni $x_i$ è l’esito di un esperimento (cioè un lancio di moneta, 0 o 1).
$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$
In Python useremo la funzione scipy.stats.describe() per ottenere la media aritmetica.
scipy.stats.describe()
from scipy.stats import describe describe([0,1]).mean
0.5
La varianza misura la dispersione.
È il valore atteso dello scarto quadratico dal suo valore atteso.
$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$
In Python useremo la funzione scipy.stats.describe() per ottenere la varianza campionaria.
describe([0,1]).variance
Per $X\sim Binomial(n, p)$
$$ E(X) = n \times p $$
$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$
Esempio: $n=10$ e $p=0.5$
In Python useremo il metodo binom.stats() per ottenere valore atteso e varianza.
binom.stats()
binom.stats(n=10, p=0.5)
(array(5.), array(2.5))
Quali sono valore atteso e varianza per un singolo lancio di moneta equa?
binom.stats(n=1, p=0.5)
(array(0.5), array(0.25))
E per un singolo lancio di moneta truccata, con probabilità di successo del 30%?
binom.stats(n=1, p=0.3)
(array(0.3), array(0.21))
Quali sono valore atteso e varianza per 10 lanci di moneta equa?
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