Inferenza su variabili trasformate
Inferenza per la regressione lineare in R
Jo Hardin
Professor, Pomona College
Interpretare i coefficienti - lineare
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[Y_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[Y_{X+1}] - E[Y_X]$
Interpretare i coefficienti - X non lineare
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[Y_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[Y_{\ln(X)+1}] - E[Y_{\ln(X)}]$
Interpretare i coefficienti - Y non lineare
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[\ln(Y)_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{X+1}] - E[\ln(Y)_X]$
Interpretare i coefficienti - entrambi non lineari
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
Interpretare i coefficienti - entrambi log naturali (caso speciale)
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
OPPURE (quando $X$ e $Y$ sono entrambi trasformati con logaritmo naturale):
$\beta_1 = $ variazione percentuale di $Y$ per ogni variazione dell'1% di $X$
Esercitiamoci!
Inferenza per la regressione lineare in R
