Adattare il modello di Weibull

Analisi di sopravvivenza in Python

Shae Wang

Senior Data Scientist

Distribuzioni di probabilità

Una distribuzione di probabilità

Una funzione matematica che descrive la probabilità dei diversi esiti.

distribuzione_normale

Distribuzioni di probabilità

Una distribuzione di probabilità

Una funzione matematica che descrive la probabilità dei diversi esiti.

distribuzione_uniforme

Introduzione alla distribuzione di Weibull

La distribuzione di Weibull

Una distribuzione continua che modella molto bene i tempi all'evento (inizialmente usata per la distribuzione delle dimensioni delle particelle).

La funzione di densità di Weibull

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}$$ $$x\geq0,k>0,\lambda>0$$

Introduzione alla distribuzione di Weibull

$k$

Determina la forma

k_variabile

$\lambda$

Determina la scala

lambda_variabile

Adattare la distribuzione di Weibull ai dati

Un'azienda gestisce una flotta di macchine soggette a guasti...

istogramma_guasti_macchine

Adattare la distribuzione di Weibull ai dati

Un'azienda gestisce una flotta di macchine soggette a guasti...

weibull_guasti_macchine

Dalla Weibull alla funzione di sopravvivenza

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad\qquad\qquad S(t)=e^{-(t/\lambda)^\rho}$$

weibull_a_funzione_di_sopravvivenza

$\rho$ è lo stesso di k

I parametri: k e lambda

k e $\lambda$

k (o $\rho$): determina la forma
$\lambda$: determina la scala (indica quando il 63,2% della popolazione ha avuto l'evento)

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad f(x;\lambda,k=3)=\frac{3}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^2e^{-(x/\lambda)^3}$$

Distribuzione di Weibull: il tasso di guasto/evento è proporzionale a una potenza del tempo.

Interpretare k (o $\rho$)

k<1, il tasso diminuisce

Quando $k<1$, il tasso di guasto/evento diminuisce nel tempo.

Interpretare k (o $\rho$)

k=1, tasso costante

Quando $k=1$, il tasso di guasto/evento è costante nel tempo.

Interpretare k (o $\rho$)

k>1, il tasso aumenta

Quando $k>1$, il tasso di guasto/evento aumenta nel tempo.

Analisi di sopravvivenza con la Weibull

Importa la classe WeibullFitter
```
from lifelines import WeibullFitter
```
Istanzia WeibullFitter
```
wb = WeibullFitter()
```
Chiama .fit() per adattare il modello ai dati
```
wb.fit(durations, event_observed)
```
Accedi a .survival_function_, .lambda_, .rho_, .summary, .predict()

Esempio di modello Weibull

Nome DataFrame: mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
1000	30	1

from lifelines import WeibullFitter
wb = WeibullFitter()

wb.fit(durations=mortgage_df["duration"],
       event_observed=mortgage_df["paid_off"])

Esempio di modello Weibull

wb.survival_function_.plot()
plt.show()

curva di sopravvivenza Weibull esempio

print(wb.lambda_, wb.rho_)

6.11  0.94

print(wb.predict(20))

0.05

Passiamo alla pratica !

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