Stima di Kaplan-Meier
Analisi di sopravvivenza in Python
Shae Wang
Senior Data Scientist
Cos'è lo stimatore di Kaplan-Meier?
Statistica non parametrica che stima la funzione di sopravvivenza di dati di tempo-all'evento.
- Conosciuta anche come
- stimatore product-limit
- stimatore K-M
- Non parametrico: costruisce una curva di sopravvivenza dai dati raccolti senza assumere una distribuzione sottostante
L'intuizione matematica
Definizioni:
- $t_i$: un tempo di durata
- $d_i$: numero di eventi avvenuti al tempo $t_i$
- $n_i$: numero di individui noti per essere sopravvissuti fino a $t_i$
La funzione di sopravvivenza $S(t)$ si stima con: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
Perché si chiama stimatore product-limit?
Supponiamo eventi a 3 tempi: 1, 2, 3
Tasso di sopravvivenza per $t=2$: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
Tasso di sopravvivenza per $t=3$: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
Il tasso di sopravvivenza al tempo t è il prodotto della probabilità di sopravvivere al tempo t e a ciascun tempo precedente.
Assunzioni da ricordare
- Eventi non ambigui: l'evento d'interesse avviene in un momento chiaramente definito.
- Probabilità di sopravvivenza confrontabili per tutti: non dipendono da quando si entra nello studio.
- Censura non informativa: le osservazioni censurate hanno le stesse prospettive di sopravvivenza di quelle seguite fino alla fine.
Stimatore di Kaplan-Meier con lifelines
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: una classe della libreria lifelines
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
L'esempio del mutuo
Nome DataFrame: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
L'esempio del mutuo
Nome DataFrame: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
Usare lo stimatore di Kaplan-Meier
Qual è la durata mediana di un mutuo pendente?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
Qual è la probabilità che un mutuo resti pendente ogni anno dopo l'avvio?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
Usare lo stimatore di Kaplan-Meier
Qual è la probabilità che un mutuo non sia estinto entro il 34° anno dall'avvio?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
Vantaggi e limiti
Vantaggi
- Interpretazione intuitiva delle probabilità di sopravvivenza.
- Flessibile: si applica a qualsiasi dato tempo-all'evento.
- Di solito il primo modello da provare sui dati tempo-all'evento.
Limiti
- La curva di sopravvivenza non è liscia.
- Se ≥50% dei dati è censurato,
.median_survival_time_non si può calcolare. - Poco efficace per analizzare l'effetto delle covariate sulla funzione di sopravvivenza.
Ayo berlatih!
Analisi di sopravvivenza in Python
