Visualizzare il tuo modello di Kaplan-Meier

Analisi di sopravvivenza in Python

Shae Wang

Senior Data Scientist

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Dati di esempio con $n=5$:

duration	observed
2	1
5	0
3	1
5	1
2	0

Passo 1: Ordina i dati in modo crescente. Se ci sono pareggi, i dati censurati vanno dopo quelli non censurati.

Passo 2: Per ogni $t_i$, calcola $d_i$, $n_i$ e $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$

Passo 3: Per ogni $t_i$, moltiplica $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ per $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$, $\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$, ... , $\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 1: Ordina le durate in modo crescente. Se ci sono pareggi, i dati censurati vanno dopo quelli non censurati.

duration
2
5+
3
5
2+

Usa il segno "+" per indicare i dati censurati: 2, 5+, 3, 5, 2+

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 1: Ordina le durate in modo crescente. Se ci sono pareggi, i dati censurati vanno dopo quelli non censurati.

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 2: Per ogni $t_i$, calcola $d_i$, $n_i$ e $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 2: Per ogni $t_i$, calcola $d_i$, $n_i$ e $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$

$t_i$	$d_i$
2, 2+	1
3	1
5, 5+	1

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 2: Per ogni $t_i$, calcola $d_i$, $n_i$ e $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$

$t_i$	$d_i$	$n_i$
2, 2+	1	5
3	1	3
5, 5+	1	2

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 2: Per ogni $t_i$, calcola $d_i$, $n_i$ e $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$
2, 2+	1	5	$4/5$
3	1	3	$2/3$
5, 5+	1	2	$1/2$

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

Passo 3: Per ogni $t_i$, moltiplica $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ per $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$, $\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$, ... , $\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	4/5	4/5 = 0,8
3	1	3	2/3	4/5 $\cdot$ 2/3 = 0,53
5, 5+	1	2	1/2	4/5 $\cdot$ 2/3 $\cdot$ 1/2 = 0,27

Come costruire una curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier?

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	$4/5$	0,8
3	1	3	$2/3$	0,53
5, 5+	1	2	$1/2$	0,27

Curva di Kaplan-Meier dalla tabella.

Interpretare la curva di sopravvivenza

Curva di Kaplan-Meier dalla tabella.

Le probabilità di sopravvivenza a ogni tempo tra 0 e 5.
Fraintendimento comune: se la curva va a 0, nessun soggetto è sopravvissuto.
La curva scende a zero se l’ultima osservazione non è censurata (la durata dell’evento è nota).

Tracciare la curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier

from lifelines import KaplanMeierFitter
import matplotlib.pyplot as plt

kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

Esempio del problema del mutuo

Nome DataFrame: mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
100	30	1

from lifelines import KaplanMeierFitter
from matplotlib import pyplot as plt

mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"], 
        event_observed=mortgage_df["paid_off"])

mortgage_kmf.survival_function_.plot()

Esempio del problema del mutuo

plt.show()

Visualizzazione della curva di sopravvivenza del problema del mutuo.

Intervallo di confidenza della curva di sopravvivenza

mortgage_kmf.plot_survival_function()
plt.show()

Visualizzazione della curva di sopravvivenza del problema del mutuo con intervallo di confidenza.

Perché è utile l’intervallo di confidenza?

Un modo per quantificare l’incertezza su ogni stima puntuale delle probabilità di sopravvivenza
Un ampio intervallo di confidenza indica minore certezza, spesso per campione piccolo
Un intervallo di confidenza stretto indica maggiore certezza, spesso per campione grande

Modi per tracciare la curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier

Traccia le stime puntuali della funzione di sopravvivenza come linea continua.

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

Grafico della funzione di sopravvivenza come linea continua.

Traccia la funzione di sopravvivenza come linea a gradini senza intervallo di confidenza.

kmf.plot(ci_show=False)
plt.show()

Grafico della funzione di sopravvivenza come linea a gradini.

Modi per tracciare la curva di sopravvivenza di Kaplan-Meier

Traccia la funzione di sopravvivenza come linea a gradini con l’intervallo di confidenza.

kmf.plot()
plt.show()

Grafico della funzione di sopravvivenza come linea a gradini con intervallo di confidenza.

Un altro modo...

kmf.plot_survival_function()
plt.show()

Esercitiamoci!

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