La distribuzione normale

Gestione del rischio quantitativa in R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definizione di normale

  • Se i fattori di rischio seguono un GBM, allora i log-rendimenti dovrebbero essere normali e indipendenti
  • È così?
  • Una variabile x è normale se ha densità:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Dipende da due parametri: $\mu$ e $\sigma$
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Proprietà della normale

  • $\mu$ è la media e $\sigma ^ 2$ è la varianza
  • Notazione: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parametri stimabili facilmente dai dati
  • La somma di 2+ variabili normali indipendenti è ancora normale
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Teorema del limite centrale (CLT)

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Come stimare una normale

  • Dati: $X_1,...,X_n$
  • Metodo dei momenti:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Applicazione ai log-rendimenti FTSE 2008–09
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Esempio FTSE

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
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Visualizzare la normale stimata

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

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Ayo berlatih!

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