Convessità

Valutazione e analisi delle obbligazioni in Python

Joshua Mayhew

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Confronto: prezzo previsto vs reale

import numpy as np
import numpy_financial as npf
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

price = -npf.pv(rate=0.05, nper=20, pmt=5, fv=100)
price_up = -npf.pv(rate=0.06, nper=20, pmt=5, fv=100)
price_down = -npf.pv(rate=0.04, nper=20, pmt=5, fv=100)
duration = (price_down - price_up) / (2 * price * 0.01)
dollar_duration = duration * price * 0.01
print("Bond Price (USD): ", price)
print("Dollar Duration (USD): ", dollar_duration)

Bond Price (USD): 100.00
Dollar Duration (USD): 12.53

Confronto: prezzo previsto vs reale

bond_yields = np.arange(0, 10, 0.1)
bond = pd.DataFrame(bond_yields, columns=['bond_yield'])
bond['price'] = -npf.pv(rate=bond['bond_yield'] / 100, nper=20, pmt=5, fv=100)

    bond_yield       price
0          0.0  200.000000
1          0.1  196.978503
..         ...         ...
98         9.8   58.570780
99         9.9   57.997210

[100 rows x 2 columns]

Confronto: prezzo previsto vs reale

bond['yield_change'] = bond['bond_yield'] - 5

    bond_yield       price  yield_change
0          0.0  200.000000        -5.0
1          0.1  196.978503        -4.9
2          0.2  194.013231        -4.8
..         ...         ...           ...
97         9.7   59.153044         4.7
98         9.8   58.570780         4.8
99         9.9   57.997210         4.9

[100 rows x 3 columns]

Confronto: prezzo previsto vs reale

$ \text{Price Change} = -100 \times \text{Dollar Duration} \times \Delta y$

bond['price_change'] = -100 * dollar_duration * bond['yield_change'] / 100

    bond_yield       price  yield_change  price_change
0          0.0  200.000000          -5.0     62.650619
1          0.1  196.978503          -4.9     61.397607
..         ...         ...           ...           ...
98         9.8   58.570780           4.8    -60.144594
99         9.9   57.997210           4.9    -61.397607

[100 rows x 4 columns]

Confronto: prezzo previsto vs reale

bond['predicted_price'] = price + bond['price_change']

   bond_yield       price  yield_change  price_change  predicted_price
0          0.0  200.000000          -5.0     62.650619       162.650619
1          0.1  196.978503          -4.9     61.397607       161.397607
2          0.2  194.013231          -4.8     60.144594       160.144594
..         ...         ...           ...           ...              ...
97         9.7   59.153044           4.7    -58.891582        41.108418
98         9.8   58.570780           4.8    -60.144594        39.855406
99         9.9   57.997210           4.9    -61.397607        38.602393

[100 rows x 5 columns]

Confronto: prezzo previsto vs reale

plt.plot(bond['bond_yield'], bond['price'])
plt.plot(bond['bond_yield'], bond['predicted_price'])
plt.xlabel('Yield (%)')
plt.ylabel('Price (USD)')
plt.title("Actual Bond Prices vs. 
    Predicted Prices Using Duration")
plt.legend(["Actual Price", "Predicted Price"])
plt.show()

Limiti della duration

La duration è una misura lineare
I prezzi delle obbligazioni sono convessi
La duration è accurata solo per piccoli cambi di yield

Cos’è la convessità?

Misura la curvatura dei prezzi obbligazionari
Migliora previsione prezzi e misura del rischio
Convessità più alta = relazione prezzo/yield più curva

Formula della convessità

Useremo una formula semplificata della convessità:

${\large Convexity = \frac{P_{down}\ +\ P_{up} \ - \ 2\times P}{P\ \times\ (\Delta y)^2}}$

$P_{down}$ = Prezzo con yield più basso di 1%
$P_{up}$ = Prezzo con yield più alto di 1%
$2 \times P$ = Doppio del prezzo al rendimento attuale
$(\Delta y)^2$ = Variazione di yield al quadrato (useremo 1% ^ 2)

Esempio di convessità

Obbligazione a 10 anni, cedola annua 5%, yield to maturity 4%: qual è la sua convessità?

${ Convexity = \frac{P_{down}\ +\ P_{up} \ - \ 2\times P}{P\ \times\ (\Delta y)^2}}$

price = -npf.pv(rate=0.04, nper=10, pmt=5, fv=100)

price_up = -npf.pv(rate=0.05, nper=10, pmt=5, fv=100)
price_down = -npf.pv(rate=0.03, nper=10, pmt=5, fv=100)

convexity = (price_down + price_up - 2 * price) / (price * 0.01 ** 2)
print("Convexity: ", convexity)

Convexity:  77.56

Riepilogo

La duration è una misura lineare
I prezzi delle obbligazioni sono curvi
La duration è accurata solo per piccoli cambi di yield
La convessità misura questa curvatura

${ Convexity = \frac{P_{down}\ +\ P_{up} \ - \ 2\times P}{P\ \times\ (\Delta y)^2}}$

Aly, esercitiamoci!

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