Combinazioni di articoli

Analisi del carrello in R

Christopher Bruffaerts

Statistician

Di nuovo al supermercato

Cosa c’è nel negozio?

tutti_i_prodotti_emoticon

Cosa prendi oggi?

pane_3formaggi

{"Bread", "Cheese", "Cheese", "Cheese"}

Focus della market basket analysis

pane_formaggio

{"Bread", "Cheese"}

Sottoinsiemi e soprainsiemi

Il mio negozio - insieme

X = {"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"}

tutti_i_prodotti_emoticon

Sottoinsiemi di X - itemset

Dimensione 0: { ${ \emptyset }$ }
Dimensione 1: {"Bread"}, {"Wine"}, ...
Dimensione 2: {"Bread", "Wine"}, ...

Soprainsiemi

{"Bread", "Butter"} soprainsieme di {"Bread"}
{"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"} soprainsieme di {"Bread", "Butter"}

Grafo degli itemset

Domanda:

Qual è l’insieme di tutti i sottoinsiemi possibili di X?

X = {A, B, C, D}

grafo_itemset

Intersezioni e unioni

Intersezione

{"Bread"} $\cap$ {"Butter"} = $\emptyset$

{"Bread", "Butter"} $\cap$ {"Butter", "Wine"} = {"Butter"}

library(dplyr)
A = c("Bread", "Butter")
B = c("Bread", "Wine")
intersect(A,B)

[1] "Bread"

Unione

{"Bread"} $\cup$ {"Butter"} = {"Bread", "Butter"}

union(A,B)

[1] "Bread"  "Butter" "Wine"

Quante ceste di dimensione k?

Domanda:

Quanti sottoinsiemi di dimensione k da un insieme di dimensione n?

"n su k"

$${n \choose k} = \dfrac{n!}{(n-k)! k!},$$ dove

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 2 \times 1$

Esempio:

Numero di ceste con 2 articoli distinti dal negozio:

tutti_i_prodotti_emoticon

$${4 \choose 2} = \dfrac{4!}{(4-2)! 2!} = 6$$

Quante ceste possibili?

Domanda

Quante ceste possibili si possono creare da un insieme di dimensione n?

Binomio di Newton

$$\sum_{k=0}^n{n \choose k} = 2^n$$

2^(n_items)

Esempio

Numero totale di ceste:

$$2^4 = 16$$

tutti_i_prodotti_emoticon

Quante ceste in R?

Combinazioni in R

n_items = 4
basket_size = 2
choose(n_items, basket_size)

[1] 6

# Loop su tutti i valori possibili
store = matrix(NA, nrow=5, ncol=2)
for (i in 0:n_items){
  store[i+1,] = c(i, choose(n_items,i))}

Output

colnames(store)=c("size", "nb_combi")
store

     size nb_combi
[1,]    0        1
[2,]    1        4
[3,]    2        6
[4,]    3        4
[5,]    4        1

Grafico del numero di combinazioni

Fatti un’idea di quanto cresce il numero di combinazioni

n_items = 50
fun_nk = function(x) choose(n_items, x)
# Plotting
ggplot(data = data.frame(x = 0),
    mapping = aes(x=x))+
  stat_function(fun = fun_nk)+
  xlim(0, n_items)+
  xlab("Subset size")+
  ylab("Number of subsets")

distribuzione_combinazioni

Pronti a contare?

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