Calcolare le speranze di vita

Valutazione dei prodotti assicurativi sulla vita in R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

La vita futura curtata

  • $K_x = \lfloor T_x \rfloor$, il numero di anni interi vissuti
    $\quad \,$ da $(x)$ in futuro.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

  • Calcola $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.
# Probabilità di decesso differita di 5 anni per (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# In alternativa
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664
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La speranza di vita curtata

  • Il valore atteso di $K_x$ si chiama speranza di vita curtata:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Valutazione dei prodotti assicurativi sulla vita in R

La speranza di vita di un supereroe

 

Mr. Incredible ha 35 anni e vive in Belgio.

Come supereroe indipendente deve occuparsi della sua pianificazione finanziaria.

Qual è una buona stima della sua vita futura curtata?

Puoi aiutare?

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La speranza di vita di un supereroe in R

Calcola $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# Probabilità di sopravvivenza a un anno
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# Probabilità di sopravvivenza a k anni di (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# Speranza di vita futura curtata di (35)
sum(kp35)

43.53192
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La vita futura attesa

  • Come passare da $E[K_x]$ a $E[T_x]$?

  • Quindi: da curtata a completa?

  • Usa:

    $$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

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La speranza di vita di un supereroe in R

Confronta $E[K_{35}]$ con $E[T_{35}]$.

# Speranza di vita curtata di (35)
sum(kp35)

43.53192

# Speranza di vita completa di (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03
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Esercitiamoci!

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