Rendita vitalizia intera, temporanea e differita

Valutazione dei prodotti assicurativi sulla vita in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Una serie di prestazioni

E se...?
- La prestazione è $c_k$ EUR invece di 1 EUR?
- Una serie di capitali differiti puri invece di uno solo?

Impostazione generale

Rendita vitalizia su $(x)$ con vettore delle prestazioni

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
Sequenza di capitali differiti puri:
- ciascuno con $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$ come Valore Attuale Atteso (EPV)
- insieme:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ l'EPV.

Rendite vitalizie in R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Rendita vitalizia intera anticipata

Rendita vitalizia intera anticipata: paga $c_k$ all'inizio dell'anno $(k+1)$.

Rendita vitalizia intera posticipata

Rendita vitalizia intera posticipata: paga $c_k$ alla fine dell'anno $(k+1)$.

Rendite vitalizie in R

Calcola $\ddot{a}_{35}$ (anticipata) con tasso d'interesse costante $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

e $a_{35}$ (posticipata)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Rendita vitalizia temporanea anticipata

Rendita temporanea anticipata: massimo $n$ anni, dal tempo $0$ a $n-1$.

Rendita vitalizia intera differita anticipata

Rendita vitalizia intera differita anticipata: nessun pagamento nei primi $u$ anni.

Esercitiamoci!

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