Vita futura casuale

Valutazione dei prodotti assicurativi sulla vita in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

La vita futura casuale

$(x)$ indica un individuo di età $x$ in questo momento, con $x \geq 0$.
La variabile casuale $T_x$ è la vita futura di $(x)$.
Quindi, l'età al decesso di $(x)$ è $x + T_x$.

La tavola di mortalità in R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table contiene la tavola di mortalità periodale per i maschi in Belgio nel 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Tassi di mortalità e probabilità di sopravvivenza

La probabilità annua di morte

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ è il tasso di mortalità a età $x$.
La probabilità annua di sopravvivenza

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Quindi, $p_x = 1 - q_x$.

Tassi di mortalità di sportivi belgi in R

Eden Hazard è un calciatore belga del Chelsea e ha 27 anni.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx è un ciclista belga, 5 volte vincitore del Tour de France, e ha 72 anni.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Visualizzare in R i tassi di mortalità belgi $q_x$

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

L'aspettativa di vita

La (completa) speranza di vita futura di $(x)$ è $E[T_x]$
Per Eden Hazard, 27 anni:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Per Eddy Merckx, 72 anni:

ex[72 + 1]

12.67

Visualizzare in R l'aspettativa di vita

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Esercitiamoci!

Valutazione dei prodotti assicurativi sulla vita in R