Analisi delle cifre con la legge di Benford

Rilevamento delle frodi in R

Bart Baesens

Professor Data Science at KU Leuven

Introduzione

Prendi un giornale a una pagina a caso e annota la prima cifra a sinistra (1,2,...,9) di tutti i numeri.
Quali sono le frequenze attese di queste cifre?

giornale

Introduzione

Prendi un giornale a una pagina a caso e annota la prima cifra a sinistra (1,2,...,9) di tutti i numeri.
Quali sono le frequenze attese di queste cifre?
Ipotesi naturale: circa 1/9 = 11%

barplotrnd

Introduzione

Prendi un giornale a una pagina a caso e annota la prima cifra a sinistra (1,2,...,9) di tutti i numeri.
Quali sono le frequenze attese di queste cifre?
Ipotesi naturale: circa 1/9
Legge di Benford: frequenze attese
- cifra 1 $\approx$ 30%
- cifra 9 $\approx$ 4,6%

barplotbf

Newcomb e Benford

«Che le dieci cifre non compaiano con uguale frequenza è evidente a chiunque usi spesso le tavole logaritmiche e noti come le prime pagine si consumino molto più in fretta delle ultime.» (Newcomb, 1881)
Benford osservò la prima cifra dei numeri in 20 diversi insiemi di dati.

newben

Legge di Benford per la prima cifra

Un insieme di dati soddisfa la legge di Benford per la prima cifra se la probabilità che la prima cifra $D_1$ sia uguale a $d_1$ è approssimativamente: $$P(D_1=d_1)=\log(d_1+1)-\log(d_1)=\log\left(1+\frac{1}{d_1}\right) \qquad d_1=1,\ldots,9$$

Esempi
- $P(D_1=1)=\log\left(1+\frac{1}{1}\right)=\log(2)=0.3010300$
- $P(D_1=2)=\log\left(1+\frac{1}{2}\right)=\log(1.5)=0.1760913$
- $P(D_1=9)=\log\left(1+\frac{1}{9}\right)=\log(1.111111)=0.04575749$
Pinkham scoprì che la legge di Benford è invariante per scalatura.

Legge di Benford per la prima cifra

benlaw <- function(d) log10(1 + 1 / d)
benlaw(1)

0.30103

barplotbf

Generiamo i primi 1000 numeri di Fibonacci.

fibnum <- numeric(1000)
fibnum[1] <- fibnum[2] <- 1
for (i in 3:1000) { fibnum[i] <- fibnum[i-1] + fibnum[i-2] } 
head(fibnum)

1 1 2 3 5 8

Generiamo anche le prime 1000 potenze di 2.

pow2 <- 2^(1:1000)
head(pow2)

2 4 8 16 32 64

Funzione `benford` dal pacchetto benford.anaysis

library(benford.analysis)
bfd.fib <- benford(fibnum,
                   number.of.digits = 1)
plot(bfd.fib)

fibonacci

library(benford.analysis)
bfd.pow2 <- benford(pow2,
                    number.of.digits = 1)
plot(bfd.pow2)

pow2

Esercitiamoci!

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