Regressione bayesiana multivariata

Modeling bayesiano con RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modeling volume

$Y_i$ = volume del sentiero (n. di utenti) nel giorno $i$

¹ Foto per gentile concessione di commons.wikimedia.org

Modeling volume by weekday

$Y_i$ = volume del sentiero (n. di utenti) nel giorno $i$
$X_i$ = 1 nei feriali, 0 nei festivi

$\;$

Modeling volume by temperature

$Y_i$ = volume del sentiero (n. di utenti) nel giorno $i$
$Z_i$ = temperatura massima nel giorno $i$ (in $^{\circ}$F)

$\;$

Modeling volume by temperature & weekday

$Y_i$ = volume del sentiero (n. di utenti) nel giorno $i$
$X_i$ = 1 nei feriali, 0 nei festivi
$Z_i$ = temperatura massima nel giorno $i$ (in $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Festivi: $m_i = a + c Z_i$

Feriali: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modeling volume by temperature & weekday

$Y_i$ = volume del sentiero (n. di utenti) nel giorno $i$
$X_i$ = 1 nei feriali, 0 nei festivi
$Z_i$ = temperatura massima nel giorno $i$ (in $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Festivi: $m_i = a + c Z_i$

Feriali: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modeling volume by temperature & weekday

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Festivi: $m_i = a + c Z_i$

Feriali: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = intercetta sui festivi
$a+b$ = intercetta sui feriali
$b$ = contrasto tra intercette feriali vs festivi

$c$ = pendenza comune
$s$ = deviazione standard residua

Priors per $a$ e $b$

C'è incertezza sull'intercetta tra temperatura e volume del fine settimana.

C'è incertezza su come il volume tipico differisca tra feriali e festivi a pari temperatura.

Priors per $c$ e $s$

Sia nei feriali sia nei festivi, c'è incertezza sull'associazione tra volume del sentiero e temperatura.

La deviazione tipica dalla tendenza è ugualmente probabile tra 0 e 200 utenti.

Modello bayesiano del volume per stato feriale/festivo

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DEFINISCI il modello bayesiano in RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Esercitiamoci!

Modeling bayesiano con RJAGS