Phân phối lệch đa biến

Phân phối Xác suất Đa biến trong R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Phân phối đa biến lệch: biểu đồ phân tán

Dữ liệu đo tế bào dòng chảy — tán xạ bên (SSC) và tán xạ trước (FSC)

Phân phối đa biến lệch: biểu đồ đường đồng mức

Dữ liệu đo tế bào dòng chảy — tán xạ bên (SSC) và tán xạ trước (FSC)

Phân phối skew-normal đơn biến

Skew-normal tổng quát ký hiệu $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ và $\omega$ là tham số vị trí và độ lệch chuẩn

Dạng đơn giản: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ là tham số độ lệch

Phạm vi của các phân phối skew-normal đơn biến

So sánh $SN(\alpha)$ với Chuẩn chuẩn hóa

Với $\alpha>0$ lệch phải
Với $\alpha<0$ lệch trái
$SN(0)$ trùng với Chuẩn chuẩn hóa

Phân phối skew-normal đa biến

Ký hiệu: phân phối skew-normal đa biến ba chiều

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ tham số vị trí (vector độ dài $3$)
$\Omega$ tham số phương sai-hiệp phương sai (ma trận $3 \times 3$)
$\alpha$ tham số độ lệch (vector độ dài $3$)

Biểu đồ đường đồng mức của skew-normal hai biến

Skew-normal hai biến

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Hàm cho phân phối skew-normal

Từ thư viện sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Cần chỉ định xi, Omega, alpha

Hàm cho phân phối skew-t

Từ thư viện sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Cần chỉ định xi, Omega, alpha, nu (bậc tự do)

Sinh mẫu skew-normal

Tạo 2000 mẫu từ skew-normal 3 chiều

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Chỉ định xi, Omega và alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Sinh mẫu
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Mẫu từ phân phối skew-normal

Sinh mẫu skew-t

Tạo 2000 mẫu từ skew-t 3 chiều với

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Sinh mẫu
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Ước lượng tham số từ dữ liệu

Cần thuật toán lặp để ước lượng tham số của phân phối skew-normal
- Không có công thức tường minh để tính tham số
Có nhiều hàm trong gói sn, gồm hàm msn.mle()

Ước lượng tham số từ dữ liệu

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Mẫu được sinh bằng:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Giờ hãy làm vài bài tập với phân phối skew-normal!

Phân phối Xác suất Đa biến trong R