Tính tuổi thọ kỳ vọng

Định giá Sản phẩm Bảo hiểm Nhân thọ bằng R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Tuổi thọ tương lai curtate

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, số năm tròn đã sống
$\quad \,$ của $(x)$ trong tương lai.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

Tính $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.

# Xác suất tử vong hoãn 5 năm của (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Cách khác
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

Tuổi thọ kỳ vọng curtate

Kỳ vọng của $K_x$ được gọi là tuổi thọ kỳ vọng curtate:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Tuổi thọ của một siêu anh hùng

Ông Incredible 35 tuổi và sống ở Bỉ.

Là siêu anh hùng độc lập, ông ấy cần tự lo kế hoạch tài chính.

Ước lượng hợp lý cho tuổi thọ tương lai curtate của ông ấy là bao nhiêu?

Bạn có thể giúp không?

Tuổi thọ của siêu anh hùng trong R

Tính $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# Xác suất sống qua 1 năm
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# Xác suất sống k năm của (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# Tuổi thọ kỳ vọng curtate của (35)
sum(kp35)

43.53192

Tuổi thọ kỳ vọng trong tương lai

Làm sao đi từ $E[K_x]$ đến $E[T_x]$?
Tức: từ curtate sang complete?
Dùng:

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

Tuổi thọ của siêu anh hùng trong R

So sánh $E[K_{35}]$ với $E[T_{35}]$.

# Tuổi thọ kỳ vọng curtate của (35)
sum(kp35)

43.53192

# Tuổi thọ kỳ vọng complete của (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

Cùng luyện tập nào!

Định giá Sản phẩm Bảo hiểm Nhân thọ bằng R