Tuổi thọ ngẫu nhiên trong tương lai

Định giá Sản phẩm Bảo hiểm Nhân thọ bằng R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Tuổi thọ ngẫu nhiên trong tương lai

$(x)$ chỉ một cá nhân hiện đang ở tuổi $x$, với $x \geq 0$.
Biến ngẫu nhiên $T_x$ là tuổi thọ trong tương lai của $(x)$.
Vậy tuổi khi qua đời của $(x)$ là $x + T_x$.

Bảng sống trong R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table chứa bảng sống theo giai đoạn cho nam giới ở Bỉ năm 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Tỷ suất tử vong và xác suất sống sót

Xác suất tử vong trong một năm

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ là tỷ suất tử vong tại tuổi $x$.
Xác suất sống sót trong một năm

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Do đó, $p_x = 1 - q_x$.

Tỷ suất tử vong của vận động viên Bỉ trong R

Eden Hazard là cầu thủ bóng đá người Bỉ, chơi cho Chelsea và 27 tuổi.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx là tay đua xe đạp người Bỉ, 5 lần vô địch Tour de France và 72 tuổi.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Minh họa tỷ suất tử vong $q_x$ ở Bỉ trong R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Tuổi thọ kỳ vọng

(Đầy đủ) kỳ vọng tuổi thọ tương lai của $(x)$ là $E[T_x]$
Với Eden Hazard, 27 tuổi:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Với Eddy Merckx, 72 tuổi:

ex[72 + 1]

12.67

Minh họa tuổi thọ kỳ vọng trong R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Cùng luyện tập nào!

Định giá Sản phẩm Bảo hiểm Nhân thọ bằng R