Hồi quy Poisson

Mô hình hóa Bayesian với RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Cấu trúc khả năng xảy ra Normal

$Y$ = lưu lượng (# người dùng) trong một ngày
$Y \sim N(m, s^2)$

Về mặt kỹ thuật...

Mô hình Normal giả định $Y$ là thang liên tục và có thể âm.
Nhưng $Y$ là số đếm rời rạc và không thể âm.

Mô hình Poisson

$Y$ = lưu lượng (# người dùng) trong một ngày
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ là số sự kiện độc lập xảy ra trong một khoảng cố định (0, 1, 2,...).
Tham số tốc độ $l$ biểu thị số sự kiện điển hình mỗi khoảng thời gian
($l > 0$).

Mô hình Poisson

$Y$ = lưu lượng (# người dùng) trong một ngày
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ là số sự kiện độc lập xảy ra trong một khoảng cố định (0, 1, 2,...).
Tham số tốc độ $l$ biểu thị số sự kiện điển hình mỗi khoảng thời gian
($l > 0$).

Mô hình Poisson

$Y$ = lưu lượng (# người dùng) trong một ngày
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ là số sự kiện độc lập xảy ra trong một khoảng cố định (0, 1, 2,...).
Tham số tốc độ $l$ biểu thị số sự kiện điển hình mỗi khoảng thời gian
($l > 0$).

Mô hình Poisson

$Y$ = lưu lượng (# người dùng) trong một ngày
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ là số sự kiện độc lập xảy ra trong một khoảng cố định (0, 1, 2,...).
Tham số tốc độ $l$ biểu thị số sự kiện điển hình mỗi khoảng thời gian
($l > 0$).

Hồi quy Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ với $l_i > 0$

Hồi quy Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ với $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Hồi quy Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ với $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Một vấn đề:
Nối trực tiếp $l_i$ với mô hình tuyến tính ngụ ý $l_i$ có thể âm.

Hồi quy Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ với $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Một cách giải:
Dùng hàm liên kết log để nối $l_i$ với mô hình tuyến tính. Khi đó:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Hồi quy Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ với $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Một cách giải:
Dùng hàm liên kết log để nối $l_i$ với mô hình tuyến tính. Khi đó:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Hồi quy Poisson trong RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Hồi quy Poisson trong RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Hồi quy Poisson trong RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Hồi quy Poisson trong RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Lưu ý

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Giả định: Trong các ngày có nhiệt độ và trạng thái ngày trong tuần tương tự, phương sai của $Y_i$ bằng với trung bình của $Y_i$.
Dữ liệu cho thấy khả năng overdispersion - phương sai lớn hơn trung bình.
Dù chưa hoàn hảo, mô hình này vẫn là điểm khởi đầu chấp nhận được.

Cùng luyện tập nào!

Mô hình hóa Bayesian với RJAGS