Giải phương trình ma trận–vectơ

Đại số tuyến tính cho Khoa học dữ liệu với R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Giải $A\vec{x} = \vec{b}$ dùng $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Kiểm tra nghiệm bằng cách thế $\vec{x}$ vào:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Bằng đúng $\vec{b}$ đã cho:

print(b)

1 -2

Điều kiện bổ sung để có nghiệm duy nhất

Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất $A\vec{x} = \vec{0}$ là nghiệm tầm thường $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Nếu $A$ là ma trận vuông $n \times n$, các điều kiện sau là tương đương và suy ra nghiệm duy nhất cho $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Ma trận $A$ có nghịch đảo (khả nghịch)
Định thức của $A$ khác 0
Các hàng và cột của $A$ tạo thành một cơ sở cho tập mọi vectơ có $n$ phần tử
Phương trình thuần nhất $A\vec{x} = \vec{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường ($\vec{x} = 0$)

Đại số tuyến tính cho Khoa học dữ liệu với R