Tối ưu lồi có ràng buộc

Nhập môn Tối ưu hóa với Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Tối ưu lồi có ràng buộc

Hàm lồi.

Ràng buộc: giới hạn lên biến
Đường bàng quan: biểu diễn các kết hợp biến
Tìm điểm trên đường bàng quan cực tiểu hoặc cực đại hàm mục tiêu

Đường bàng quan

Một phụ nữ trẻ tóc đen đang làm việc trên laptop

Kỹ sư phần mềm tự do
Đánh giá cao công việc ($w$) và giải trí ($l$)

Hàm hữu dụng:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Vẽ đường bàng quan

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Đường bàng quan

Trực quan hóa đường bàng quan

Alexia bàng quan với từng kết hợp $w$ và $l$

Ràng buộc thời gian

24 giờ mỗi ngày
Ràng buộc đẳng thức tuyến tính

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Thêm ràng buộc vào đồ thị:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Đường bàng quan và ràng buộc tuyến tính. Đường bàng quan tại mức tối ưu tiếp xúc (tiếp tuyến) với ràng buộc. Tại điểm tiếp tuyến, gradient vuông góc với ràng buộc và tiếp tuyến.

Giải bằng SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Ayo berlatih!

Nhập môn Tối ưu hóa với Python