정상 과정

R로 배우는 시계열 분석

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

정상성

  • 정상 모델은 간결합니다.
  • 정상 과정은 시간이 지나도 분포 안정성을 유지합니다.

관측된 시계열:

  • 무작위로 변동합니다.
  • 하지만 시간대가 달라도 유사한 패턴을 보입니다.
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약한 정상성 - I

약한 정상성: 평균, 분산, 공분산이 시간에 따라 일정합니다.

$Y_1, Y_2$, ...가 약한 정상 과정이 되려면:

  • 모든 $t$에 대해 $ Y_t$의 평균 $ \mu $가 동일(일정)해야 합니다.
  • 모든 $t$에 대해 $ Y_t$의 분산 $ \sigma ^2$이 동일(일정)해야 합니다.
  • 그리고….
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약한 정상성 - II

모든 $ h$에 대해 $ \vert t - s \vert = h$를 만족하는 모든 경우에서 $ Y_t$와 $ Y_s$의 공분산이 동일(일정)합니다.

$$ Cov(Y_2, Y_5) = Cov(Y_7, Y_{10})$$

두 쌍 모두 시간 간격이 3이기 때문입니다.

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정상성: 왜 중요한가?

정상 과정은 더 적은 수의 모수로 모델링할 수 있습니다.

예를 들어, 각 $ Y_t$마다 서로 다른 기댓값을 추정할 필요 없이 공통 기댓값 $ \mu$를 사용합니다.

  • $ \mu$를 $ \bar y $로 정확히 추정할 수 있습니다.
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정상성: 언제 적용되는가?

그러나 많은 금융 시계열은 정상성을 보이지 않습니다:

  • 시계열의 변화량은 대체로 근사적으로 정상성을 띱니다.
  • 정상 시계열은 특정 고정 수준을 중심으로 무작위 진동을 보이는데, 이를 평균 회귀라고 합니다.
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정상성 예시

인플레이션율과 인플레이션율의 변화량:

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연습해 봅시다!

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