구조적 단절

Python을 활용한 정량적 리스크 관리

Jamsheed Shorish

Computational Economist

리스크와 분포

리스크 관리 도구
- 리스크 완화: MPT
- 리스크 측정: VaR, CVaR
리스크: 분산, 변동성
- 분산(표준편차)을 리스크 정의로 사용
리스크와 위험요인 분포(확률변수) 간의 연결

정상성

가정: 분포가 시간에 따라 동일
변하지 않는 분포 = 정상성
글로벌 금융위기 기간의 효율적 프런티어
- 비정상적임
추정 기법은 정상성을 _요구_
- 히스토리컬: 과거 데이터로 미지의 _정상_ 분포 추정
- 모수적: 가정한 _정상_ 분포족 사용
- 몬테카를로: 난수 추출용 _정상_ 분포 가정

구조적 단절

비정상성 => 분포가 시간에 따라 _변화_할 수 있음
변화 시점을 특정해 가정
- 데이터를 하위 기간으로 분할
- 각 하위 기간 내에서는 정상성 가정
구조적 단절: 변화가 발생한 시점
- 평균 및/또는 변동성의 '추세' 변화

예시: 중국의 인구 증가

1950–2019 기간 검토
추세는 대체로 _선형_

1950–2019년 중국 인구 그래프

예시: 중국의 인구 증가

1950–2019 기간 검토
추세는 대체로 _선형_
…하지만 1990년 전후로 둔화됨
1990년 근처 구조적 단절 가능성
순인구(출생–사망) 분포가 _변화_했다는 의미
가능한 원인: 정부 정책, 생활수준 등

1950–2019년 중국 인구의 시간 추이와 추세 화살표 그래프

Chow 검정

이전 예시: 구조적 단절의 시각적 근거
정량화: 통계적 측도
Chow 검정:
- _선형_ 모형에서 구조적 단절 존재 여부 검정
- 귀무가설: 단절 없음
- OLS 회귀 3개 필요
  - _전체_ 기간 회귀
  - 단절 _이전_과 _이후_ 회귀 두 개
- 제곱합 잔차(SSR) 수집
- 검정통계량은 F 분포를 따름

Python에서의 Chow 검정

가설: 중국 인구에 1990년 구조적 단절 존재
선형 "요인 모형" 가정: $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
statsmodels의 OLS로 1950–2019 전체 기간 OLS 회귀
- 제곱합 잔차 res.ssr 추출

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Python에서의 Chow 검정

1950–2019를 1950–1989, 1990–2019로 분할
각 구간별 OLS 회귀 수행
- res_before.ssr, res_after.ssr 추출

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Python에서의 Chow 검정

F 분포를 따르는 Chow 검정통계량 계산
- 분자 계산
  - k = 자유도 2 = OLS 계수 $\alpha$, $\beta$ 두 개
- 분모 계산
  - 자유도 66 = 전체 관측치(70) - 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

연습해 봅시다!

Python을 활용한 정량적 리스크 관리

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