베이즈 규칙

Python으로 배우는 확률 기초

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

동전 두 번 던지기의 확률

독립 사건의 P(A and B)

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

종속 사건의 P(A and B)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

종속 사건의 P(A and B) (계속)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) = P(B and A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) = P(B and A) (계속)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

베이즈 관계식

$$ $$

베이즈 규칙

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

전확률

모든 공급업체의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

전확률 (계속)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

전확률 (계속)

모든 공급업체의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 공식

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

베이즈 공식 (계속)

베이즈 공식:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

부품이 불량일 때, 공급업체 i일 확률:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

베이즈 공식 (계속)

베이즈 공식: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
부품이 불량일 때, 공급업체 i일 확률:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화

모든 공급업체의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1과 2의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1, 2, 3의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1, 2, 3의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

공급업체 1, 2, 3의 불량 부품을 보여주는 벤 다이어그램

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

분자: 공급업체 1의 불량, 분모: 공급업체 1·2·3의 불량(벤 다이어그램)

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

베이즈 규칙의 시각화 (계속)

분자: 공급업체 1의 불량, 분모: 공급업체 1·2·3의 불량(벤 다이어그램)

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

공장과 부품 예제 (Python)

특정 전자 부품을 세 공급업체 V1, V2, V3가 생산합니다.

생산 비중은 V1 50%, V2 25%, V3 25%입니다. V1 생산품의 불량 확률은 1%, V2는 2%, V3는 3%입니다.

부품이 불량일 때, V1에서 생산됐을 확률은?

공장과 부품 예제 (Python, 계속)

부품이 불량일 때 V1에서 생산됐을 확률을 구하십시오.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

공장과 부품 예제 (Python, 계속)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

무작위로 선택한 불량 부품이 V1에서 생산됐을 확률은:

0.285714285714

베이즈로 연습해 봅시다

Python으로 배우는 확률 기초