변환된 변수에 대한 추론
R을 활용한 선형 회귀 추론
Jo Hardin
Professor, Pomona College
계수 해석 - 선형
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, where $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[Y_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[Y_{X+1}] - E[Y_X]$
계수 해석 - 비선형 X
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, where $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[Y_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[Y_{\ln(X)+1}] - E[Y_{\ln(X)}]$
계수 해석 - 비선형 Y
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, where $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[\ln(Y)_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{X+1}] - E[\ln(Y)_X]$
계수 해석 - X, Y 모두 비선형
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, where $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
계수 해석 - 모두 자연로그 변환 (특수 사례)
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, where $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
또는 ($X$와 $Y$ 모두 자연로그로 변환된 경우):
$\beta_1 = $ $X$가 1% 변할 때 $Y$의 변화율(%)
연습해 봅시다!
R을 활용한 선형 회귀 추론
