Kaplan-Meier 모형 시각화

Python에서의 Survival Analysis

Shae Wang

Senior Data Scientist

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

장난감 데이터 $n=5$:

duration	observed
2	1
5	0
3	1
5	1
2	0

1단계: 데이터를 오름차순으로 정렬합니다. 동률일 때는 검열 데이터가 비검열 데이터 뒤에 옵니다.

2단계: 각 $t_i$에 대해 $d_i$, $n_i$, 그리고 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ 계산

3단계: 각 $t_i$에 대해 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$를 $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$, $\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$, ... , $\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$와 곱합니다

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

1단계: duration을 오름차순으로 정렬합니다. 동률일 때는 검열 데이터가 비검열 뒤에 옵니다.

duration
2
5+
3
5
2+

"+" 기호는 검열을 의미: 2, 5+, 3, 5, 2+

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

1단계: duration을 오름차순으로 정렬합니다. 동률일 때는 검열 데이터가 비검열 뒤에 옵니다.

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

2단계: 각 $t_i$에 대해 $d_i$, $n_i$, 그리고 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ 계산

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

2단계: 각 $t_i$에 대해 $d_i$, $n_i$, 그리고 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ 계산

$t_i$	$d_i$
2, 2+	1
3	1
5, 5+	1

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

2단계: 각 $t_i$에 대해 $d_i$, $n_i$, 그리고 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ 계산

$t_i$	$d_i$	$n_i$
2, 2+	1	5
3	1	3
5, 5+	1	2

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

2단계: 각 $t_i$에 대해 $d_i$, $n_i$, 그리고 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ 계산

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$
2, 2+	1	5	$4/5$
3	1	3	$2/3$
5, 5+	1	2	$1/2$

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

3단계: 각 $t_i$에 대해 $\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$를 $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$, $\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$, ... , $\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$와 곱합니다.

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	4/5	4/5 = 0.8
3	1	3	2/3	4/5 $\cdot$ 2/3 = 0.53
5, 5+	1	2	1/2	4/5 $\cdot$ 2/3 $\cdot$ 1/2 = 0.27

Kaplan-Meier 생존곡선은 어떻게 구성하나요?

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	$4/5$	0.8
3	1	3	$2/3$	0.53
5, 5+	1	2	$1/2$	0.27

표에서 생성된 Kaplan-Meier 곡선.

생존곡선 해석

표에서 생성된 Kaplan-Meier 곡선.

0부터 5까지 각 시점의 생존확률
흔한 오해: 곡선이 0이면 아무도 생존하지 못했다.
마지막 관측이 검열이 아니면(실제 사건 시간이 알려짐) 곡선이 0으로 떨어질 수 있습니다.

Kaplan-Meier 생존곡선 그리기

from lifelines import KaplanMeierFitter
import matplotlib.pyplot as plt

kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

모기지 문제 예시

DataFrame 이름: mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
100	30	1

from lifelines import KaplanMeierFitter
from matplotlib import pyplot as plt

mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"], 
        event_observed=mortgage_df["paid_off"])

mortgage_kmf.survival_function_.plot()

모기지 문제 예시

plt.show()

모기지 문제 생존곡선 시각화.

생존곡선 신뢰구간

mortgage_kmf.plot_survival_function()
plt.show()

신뢰구간이 포함된 모기지 문제 생존곡선 시각화.

신뢰구간이 유용한 이유

각 시점 생존확률 점추정의 불확실성을 정량화
신뢰구간이 넓을수록 확신이 낮음(표본 수 작음)
신뢰구간이 좁을수록 확신이 높음(표본 수 큼)

Kaplan-Meier 생존곡선 그리는 방법들

생존함수 점추정을 연속선으로 그림.

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

연속선으로 그린 생존함수.

신뢰구간 없이 계단형 선으로 그림.

kmf.plot(ci_show=False)
plt.show()

계단형 선으로 그린 생존함수.

Kaplan-Meier 생존곡선 그리는 방법들

신뢰구간과 함께 계단형 선으로 그림.

kmf.plot()
plt.show()

신뢰구간과 함께 계단형 선으로 그린 생존함수.

또 다른 방법...

kmf.plot_survival_function()
plt.show()

연습해 봅시다!

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