정규분포

R로 배우는 계량적 위험 관리(Quantitative Risk Management)

Alexander McNeil

Professor, University of York

정규분포의 정의

  • 위험요인이 GBM을 따른다면 로그수익률은 독립 정규이어야 합니다
  • 실제로 그런가요?
  • 변수 x가 다음 밀도를 가지면 정규입니다:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • 두 매개변수에 의존: $\mu$, $\sigma$
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정규분포의 성질

  • $\mu$는 평균, $\sigma ^ 2$는 분산
  • 표기: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • 매개변수는 데이터로 쉽게 추정
  • 2개 이상 독립 정규의 합도 정규
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중심극한정리 (CLT)

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정규분포 추정 방법

  • 데이터: $X_1,...,X_n$
  • 모멘트법:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • 2008-09 FTSE 로그수익률에 적용
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FTSE 예시

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
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적합된 정규분포 표시

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

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연습해 봅시다!

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