GARCH 변동성은 시간에 따라 변하는 수익률 분산을 유발합니다

R에서의 GARCH 모델

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH 공분산

두 자산 수익률 $R_{1,t}$와 $R_{2,t}$의 상관계수가 $\rho$이고 시간 변동 변동성이 각각 $\sigma_{1,t}$와 $\sigma_{2,t}$일 때, 공분산은 다음과 같습니다:

$$ \sigma_{12, t} = \rho \sigma_{1, t} \sigma_{2, t} $$

4단계로 구성된 GARCH 공분산 추정

1단계: ugarchfit()으로 각 수익률 계열에 GARCH 모델을 추정합니다.

msftgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec) 
wmtgarchfit <- ugarchfit(data = wmtret, spec = garchspec)

2단계: residuals()로 표준화 수익률을 계산합니다.

stdmsftret <- residuals(msftgarchfit, standardize = TRUE)
stdwmtret <- residuals(wmtgarchfit, standardize = TRUE)

3단계: cor()로 표준화 수익률의 표본 상관계수 $\rho$를 추정합니다.

msftwmtcor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdwmtret)) # equals 0.298795

4단계로 구성된 GARCH 공분산 추정

4단계: 추정된 상관계수와 변동성을 곱하여 GARCH 공분산을 계산합니다

msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)

GARCH 공분산

금융에서 공분산의 활용

매우 다양합니다!
주요 사례: 포트폴리오 분산 최적화.
다음에 의존합니다:
- 포트폴리오 가중치
- 모든 자산의 분산
- 자산 수익률 간 공분산

포트폴리오 최적화에의 적용

자산 1에 $w_{1,t}$, 자산 2에 $(1-w_{1,t})$를 투자하는 두 자산 포트폴리오의 분산:

$$ \sigma^{2}_{p, t} = w^{2}_{1, t} \sigma^{2}_{1, t} + (1 - w_{1, t})^{2} \sigma^{2}_{2, t} + 2 w_{1, t} (1 - w_{1, t}) \sigma_{12, t} $$

최적 $w_{1,t}$를 정의하는 방법은 다양합니다. 한 가지 방법은 포트폴리오 분산 $\sigma_{t}^2$을 최소화하는 $w_{1,t}$를 설정하는 것입니다.

최소 분산 포트폴리오를 구하기 위한 1차 조건:

$$ \frac{\partial \sigma^{2}_{p, t}}{\partial w_{1, t}} = 2 w_{1, t} (\sigma^{2}_{1, t} + \sigma^{2}_{2, t} - 2 \sigma_{12, t}) - 2 (\sigma^{2}_{2, t} - \sigma_{12, t}) = 0 $$

최소 분산 포트폴리오 가중치

해: 최소 분산 가중치

R에서 계산:

msftvar <- sigma(msftgarchfit) ^ 2
wmtvar <- sigma(wmtgarchfit) ^ 2
msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)
msftweight <- (wmtvar - msftwmtcov) / (msftvar + wmtvar - 2 * msftwmtcov)

GARCH 공분산

동적 베타

주식의 베타 추정은 주식의 체계적 위험을 나타냅니다

주식 수익률과 시장 수익률의 공분산을 시장 수익률의 분산으로 나눈 값으로 정의됩니다

$$ \beta_{t} = \frac{\textnormal{covariance between the stock return and the market return}}{\textnormal{variance of the market return}} $$

위험 프리미엄 계산에 필요합니다. 베타가 높을수록 주식 위험이 크며, 따라서 요구 수익률도 높아집니다.

미국 주식의 경우 시장 수익률은 S&P 500 수익률을 사용합니다.

MSFT의 일별 베타

MSFT와 S&P 500 수익률 간 공분산 계산

msftsp500cor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdsp500ret))
msftsp500cov <- msftsp500cor * sigma(msftgarchfit) * sigma(sp500garchfit)

S&P 500 수익률의 분산 계산

sp500var <- sigma(sp500garchfit) ^ 2

베타 계산

msftbeta <- msftsp500cov / sp500var

MSFT 베타

연습해 봅시다!

R에서의 GARCH 모델