평균과 분산에 대한 가정 검증

R에서의 GARCH 모델

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

점검 1: 표준화 수익의 평균과 표준편차

표준화 수익의 공식

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

모델 타당성 첫 점검:
- 표준화 수익의 표본 평균 $\approx$ 0
- 표준화 수익의 표본 표준편차 $\approx$ 1

점검 2: 표준화 수익의 시계열 그림

모델 타당성 두 번째 점검:
- 표준화 수익의 시계열 그림
- 표준화 수익의 변동성은 일정해야 함

점검 3: 절대 표준화 수익의 예측 불가능성

모델 타당성 세 번째 점검:
- 과거 절대 표준화 수익과 현재 절대 표준화 수익 간 상관이 없어야 합니다.
- 즉, $ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0 $ ( $k>0$ )
이유
- 절대 표준화 수익의 크기는 일정해야 함 → 절대 표준화 수익 간 상관이 없어야 함.

자기상관(ACF)

이러한 시계열 내 상관은 k차 자기상관이라 합니다.
- $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$: 현재 절대 표준화 수익과 직전 값의 상관.
- $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$: 현재 절대 표준화 수익과 두 기간 전 값의 상관.
- ...
이들 값은 모두 0이어야 합니다. 예외:
- $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$: 자기 자신과의 상관: 1.

acf()

R에서는 acf()로 자기상관을 계산합니다.
- 입력: 시계열, 최대 차수
- 출력: 코렐로그램: 다양한 차수 $k = 0, 1, ...$의 자기상관을 보여주는 그림.

MSFT에 적용

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)

점검 4: Ljung-Box 검정

모델 타당성 네 번째 점검:
- 절대 표준화 수익 $|Z_t$|의 처음 k개 자기상관이 0인지에 대한 Ljung-Box 검정: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
- 추정 계수의 통계적 유의성 t-검정과 유사하나, 여기서는 좋은 모델이면 0이길 원합니다.

경험칙: p-값이 5% 미만이면 모델이 타당하지 않습니다.

R에서의 Ljung-Box 검정

R: Box.test() 함수, 3개 인자:
- 시계열
- 자기상관이 0인지 확인할 최대 차수
- type = "Ljung-Box"

예:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

출력: p-값
- 경험칙: p-값이 5% 미만이면 모델이 타당하지 않습니다.

MSFT 절대 표준화 수익에 대한 Box.test

절대 표준화 수익에 대한 검정:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

참고: p-값 28.55% > 5%. 다음을 기각할 수 없습니다: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

절대 표준화 수익을 진단해 봅시다.

R에서의 GARCH 모델