다변량 t-분포

R로 배우는 다변량 확률 분포

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

다변량 분포의 매개변수

분포	위치 매개변수	척도 매개변수
정규분포	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
왜도 정규분포	`xi`	`Omega`
왜도 t	`xi`	`Omega`

다변량 분포의 매개변수

분포	위치 매개변수	척도 매개변수	자유도
정규분포	`mean`	`sigma`	없음
t	`delta`	`sigma`	있음
왜도 정규분포	`xi`	`Omega`	없음
왜도 t	`xi`	`Omega`	있음

단변량 정규분포와 단변량 t-분포 비교

비교

표준 정규분포
다양한 df의 t-분포

정규분포와 t-분포의 꼬리 비교

동일한 임계값에서 꼬리가 더 두껍습니다

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

분포	확률
정규분포	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

다변량 t-분포 표기법

단변량 Student's t-분포의 일반화
- 널리 사용되는 형태는 모든 차원에 대해 단일 자유도를 가지며 다음과 같이 표기됩니다.

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

이변량 정규분포와 t-분포의 등고선 비교

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

df = 3인 t-분포의 등고선

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

이변량 정규분포의 등고선

다변량 t-분포 함수

함수 목록:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

난수 샘플 생성

$ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4$인 3차원 t-분포에서 샘플을 생성합니다.

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

정규분포 샘플과의 비교

자유도 4인 t-분포

정규분포

정규분포 샘플과의 비교

자유도 10인 t-분포

정규분포

다변량 t-분포에서 샘플을 생성해 봅시다!

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