기대 수명 계산

R로 배우는 생명보험 상품 평가

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

커테이트 미래 수명

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, $(x)$가 미래에 생존하는
$\quad \,$ 완전한 연수입니다.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

$Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$를 계산합니다.

# 5-year deferred mortality probability of (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatively
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

커테이트 기대 수명

$K_x$의 기댓값을 커테이트 기대 수명이라고 합니다:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

슈퍼히어로의 기대 수명

Mr. 인크레더블은 35세이며 벨기에에 거주합니다.

독립 슈퍼히어로로서 재무 계획을 스스로 수립해야 합니다.

그의 커테이트 미래 수명의 적절한 추정치는 무엇일까요?

도움을 드릴 수 있을까요?

R에서 슈퍼히어로의 기대 수명

$E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$를 계산합니다.

# one-year survival probabilities
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k-year survival probabilities of (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# curtate expected future lifetime of (35)
sum(kp35)

43.53192

미래 기대 수명

$E[K_x]$에서 $E[T_x]$로 어떻게 전환할 수 있을까요?
즉, 커테이트 기대 수명에서 완전 기대 수명으로의 전환입니다.
사용:

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

R에서 슈퍼히어로의 기대 수명

$E[K_{35}]$와 $E[T_{35}]$를 비교합니다.

# Curtate life expectancy of (35)
sum(kp35)

43.53192

# Complete life expectancy of (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

연습해 봅시다!

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