미래 잔여 수명 (확률변수)

R로 배우는 생명보험 상품 평가

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

미래 잔여 수명 확률변수

$(x)$는 현재 나이가 $x$인 개인을 나타내며, $x \geq 0$.
확률변수 $T_x$는 $(x)$의 미래 잔여 수명.
따라서 $(x)$의 사망 연령은 $x + T_x$.

R에서 생명표 다루기

인간 사망률 데이터베이스 (HMD, www.mortality.org).
life_table은 2013년 벨기에 남성 기간 생명표를 포함.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

사망률과 생존 확률

1년 내 사망 확률

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$는 나이 $x$에서의 사망률.
1년 내 생존 확률

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
따라서 $p_x = 1 - q_x$.

R에서 벨기에 스포츠 선수의 사망률

에덴 아자르는 첼시 소속 벨기에 축구 선수로 현재 27세.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

에디 메르크스는 투르 드 프랑스를 5회 우승한 벨기에 사이클 선수로 현재 72세.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

R에서 벨기에 사망률 $q_x$ 시각화

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

기대 수명

$(x)$의 (완전) 기대 미래 수명은 $E[T_x]$
27세 에덴 아자르의 경우:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

72세 에디 메르크스의 경우:

ex[72 + 1]

12.67

R에서 기대 수명 시각화

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

연습해 봅시다!

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