다변량 베이즈 회귀

RJAGS로 배우는 Bayesian 모델링

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 탐방로 이용량 (사용자 수)

¹ 사진 출처: commons.wikimedia.org

평일로 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 탐방로 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

$\;$

기온으로 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 탐방로 이용량 (사용자 수)
$Z_i$ = $i$일의 최고 기온 ($^{\circ}$F)

$\;$

기온 및 평일로 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 탐방로 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0
$Z_i$ = $i$일의 최고 기온 ($^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

주말: $m_i = a + c Z_i$

평일: $m_i = (a + b) + c Z_i$

기온 및 평일로 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 탐방로 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0
$Z_i$ = $i$일의 최고 기온 ($^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

주말: $m_i = a + c Z_i$

평일: $m_i = (a + b) + c Z_i$

기온 및 평일로 이용량 모델링

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

주말: $m_i = a + c Z_i$

평일: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = 주말 y절편
$a+b$ = 평일 y절편
$b$ = 평일 대 주말 y절편 간 차이

$c$ = 공통 기울기
$s$ = 잔차 표준편차

$a$와 $b$의 사전 분포

기온과 주말 이용량 관계의 y절편에 대한 불확실성이 존재합니다.

같은 기온 조건에서 평일과 주말의 이용량 차이에 대한 불확실성이 존재합니다.

$c$와 $s$의 사전 분포

평일·주말 모두 탐방로 이용량과 기온의 관계에 대한 불확실성이 존재합니다.

추세로부터의 전형적인 편차는 0에서 200명 사이 어느 값이든 동일하게 가능합니다.

평일 여부에 따른 이용량의 베이즈 모델

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

연습해 봅시다!

RJAGS로 배우는 Bayesian 모델링