범주형 예측 변수를 활용한 베이즈 회귀

RJAGS로 배우는 Bayesian 모델링

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

4장 학습 목표

범주형 예측 변수를 베이즈 모델에 포함하기
다변량 베이즈 회귀 모델 구성하기
정규 회귀 방법론을 일반화 선형 모델(포아송 회귀)로 확장하기

레일 트레일 이용량

목표:
매사추세츠주 레일 트레일의 일별 이용량 분석

¹ 사진 출처: commons.wikimedia.org

이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수) $ \; $
$ \;$

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

요일별 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

요일별 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

요일별 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

요일별 이용량 모델링

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = 주말 평균 이용량

$Y_i$ = $i$일의 트레일 이용량 (사용자 수)
$X_i$ = 평일이면 1, 주말이면 0

모델
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = 주말 평균 이용량
$a + b$ = 평일 평균 이용량

$b$ = 평일 대비 주말 평균 이용량 차이
$s$ = 잔차 표준편차

$a$ & $b$의 사전 분포

주말 평균 이용량은 약 400명으로 예상되며, 100명에서 700명 사이일 수 있습니다.

평일 이용량이 주말보다 많을지 적을지 불확실합니다.

$s$의 사전 분포

$\;$

평일·주말 모두 일별 이용량의 표준편차는 0에서 200명 사이에서 균등하게 분포합니다.

요일별 이용량의 베이즈 모델

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]





    # Prior models for a, b, s




}"

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))

    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 주말, X[2] = 평일
b는 2개 수준: b[1], b[2]
주말 추세 ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 주말, X[2] = 평일
b는 2개 수준: b[1], b[2]
주말 추세 ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0

}"

RJAGS에서 베이즈 모델 정의하기

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 주말, X[2] = 평일
b는 2개 수준: b[1], b[2]
주말 추세 ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0
평일 ($m_i = a + b$)
m[i] <- a + b[2]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0
    b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
}"

b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))

연습해 봅시다!

RJAGS로 배우는 Bayesian 모델링

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