独立性のカイ二乗検定

Pythonで学ぶ仮説検定

James Chapman

Curriculum Manager, DataCamp

比率検定の復習

age_by_hobbyist = stack_overflow.groupby("age_cat")['hobbyist'].value_counts()

age_cat      hobbyist
At least 30  Yes          812
             No           238
Under 30     Yes         1021
             No           190
Name: hobbyist, dtype: int64

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
n_hobbyists = np.array([812, 1021])
n_rows = np.array([812 + 238, 1021 + 190])
stat, p_value = proportions_ztest(count=n_hobbyists, nobs=n_rows, 
                                  alternative="two-sided")

(-4.223691463320559, 2.403330142685068e-05)

変数の独立性

前回の検定結果：hobbyist と age_cat に関連がある根拠あり

統計的独立 - 応答変数の成功割合が、説明変数の全カテゴリで同一である

変数の独立性検定

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x='hobbyist',
                                                       y='age_cat', correction=False)
print(stats)

                 test    lambda       chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  17.839570  1.0  0.000024  0.088826  0.988205
1        cressie-read  0.666667  17.818114  1.0  0.000024  0.088773  0.988126
2      log-likelihood  0.000000  17.802653  1.0  0.000025  0.088734  0.988069
3       freeman-tukey -0.500000  17.815060  1.0  0.000024  0.088765  0.988115
4  mod-log-likelihood -1.000000  17.848099  1.0  0.000024  0.088848  0.988236
5              neyman -2.000000  17.976656  1.0  0.000022  0.089167  0.988694

$\chi^2$ 統計量 = 17.839570 = $(-4.223691463320559)^2$ = ($z$ スコア)$^2$

職務満足度と年齢カテゴリ

stack_overflow['age_cat'].value_counts()

Under 30       1211
At least 30    1050
Name: age_cat, dtype: int64

stack_overflow['job_sat'].value_counts()

Very satisfied           879
Slightly satisfied       680
Slightly dissatisfied    342
Neither                  201
Very dissatisfied        159
Name: job_sat, dtype: int64

仮説の設定

$H_{0}$: 年齢カテゴリと職務満足度は独立している

$H_{A}$: 年齢カテゴリと職務満足度は独立していない

alpha = 0.1

検定統計量は $\chi^{2}$ で表される
独立を仮定した場合、観測値は期待値からどれだけ離れているか？

探索的可視化：積み上げ棒グラフ（比率）

props = stack_overflow.groupby('job_sat')['age_cat'].value_counts(normalize=True)

wide_props = props.unstack()

wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

探索的可視化：積み上げ棒グラフ（比率）

職務満足度別に年齢カテゴリで塗り分けた比率積み上げ棒グラフ

カイ二乗独立性検定

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="job_sat", y="age_cat")
print(stats)

                 test    lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417
1        cressie-read  0.666667  5.554106  4.0  0.235014  0.049563  0.437545
2      log-likelihood  0.000000  5.558529  4.0  0.234632  0.049583  0.437871
3       freeman-tukey -0.500000  5.562688  4.0  0.234274  0.049601  0.438178
4  mod-log-likelihood -1.000000  5.567570  4.0  0.233854  0.049623  0.438538
5              neyman -2.000000  5.579519  4.0  0.232828  0.049676  0.439419

自由度：

$(\text{応答変数のカテゴリ数} - 1) \times (\text{説明変数のカテゴリ数} - 1)$

$(2 - 1) * (5 - 1) = 4$

変数を入れ替えると？

props = stack_overflow.groupby('age_cat')['job_sat'].value_counts(normalize=True)
wide_props = props.unstack()
wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

変数を入れ替えると？

年齢カテゴリ別に職務満足度で塗り分けた比率積み上げ棒グラフ

カイ二乗：両方向の検定

expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="age_cat", y="job_sat")
print(stats[stats['test'] == 'pearson'])

      test  lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0  pearson     1.0  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417

問い：変数XとYは独立しているか？

誤り：変数XはYから独立しているか？

方向性と片側・両側検定について

観測度数と期待度数の二乗は必ず非負となる
カイ二乗検定はほぼ常に右側検定 $^{1}$

¹ 左側検定のカイ二乗検定は、データが捏造されて適合度が不自然に高い場合を検出する統計的フォレンジクスで使用されます。分散のカイ二乗検定は両側検定になる場合があります。ただし、これらはいずれもニッチな用途です。

練習しましょう！

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