1標本比率検定

Rによる仮説検定

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

第1章の復習

未知の母比率に関する主張は妥当か？
標本統計量の標準誤差はブートストラップ分布を用いて計算される。
これを使って標準化検定統計量を計算し、
p値を求め、
どちらの仮説が妥当かを判断する。
ここでは、ブートストラップ分布を使わずに検定統計量を計算する。

比率の標準化検定統計量

$p$: 母比率（未知の母数パラメータ）

$\hat{p}$: 標本比率（標本統計量）

$p_{0}$: 帰無仮説の母比率

$$ z = \frac{\hat{p} - \text{mean}(\hat{p})}{\text{standard error}(\hat{p})} = \frac{\hat{p} - p}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

$H_{0}$が真のとき、$p = p_{0}$なので

$$ z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

標準誤差の簡易計算

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

$H_{0}$が真のとき、

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

標本情報（$\hat{p}$と$n$）と帰無仮説のパラメータ（$p_{0}$）のみを使用する。

tではなくzを使う理由

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

$s$は$\bar{x}$から計算されるため、$\bar{x}$は母平均と母標準偏差の両方の推定に使われる。
これにより、母数推定の不確実性が増大する。
t分布は正規分布より裾が厚い。
これにより、追加の安全マージンが生まれる。
$\hat{p}$は分子にのみ現れるため、zスコアで問題ない。

Stack Overflowの年齢カテゴリ

$H_{0}$: 30歳未満のSOユーザーの割合は0.5である。

$H_{A}$: 30歳未満のSOユーザーの割合は0.5ではない。

alpha <- 0.01

stack_overflow %>% 
  count(age_cat)

# A tibble: 2 x 2
  age_cat         n
  <chr>       <int>
1 At least 30  1050
2 Under 30     1216

zの変数

p_hat <- stack_overflow %>%
  summarize(prop_under_30 = mean(age_cat == "Under 30")) %>%
  pull(prop_under_30)

0.5366

p_0 <- 0.50

n <- nrow(stack_overflow)

zスコアの計算

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

numerator <- p_hat - p_0
denominator <- sqrt(p_0 * (1 - p_0) / n)
z_score <- numerator / denominator

3.487

p値の計算

正規分布のCDF。-2未満の部分が赤、2より大きい部分が緑で示されている。左側検定（「未満」）

p_value <- pnorm(z_score)

右側検定（「より大きい」）

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

両側検定（「等しくない」）

p_value <- pnorm(z_score) + 
  pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

p_value <- 2 * pnorm(z_score)

0.000244

p_value <= alpha

TRUE

練習しましょう！

Rによる仮説検定