ランダムウォーク

Pythonで学ぶ時系列解析

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

ランダムウォークとは？

本日の価格 = 前日の価格 + ノイズ

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

シミュレーションデータのプロット

ランダムウォークとは？

本日の価格 = 前日の価格 + ノイズ

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

価格変化はホワイトノイズ

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \quad \ \ = \quad \ \ \epsilon_t$

ランダムウォークの予測は不可能
明日の価格の最良予測は今日の価格

ランダムウォークとは？

本日の価格 = 前日の価格 + ノイズ

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

ドリフト付きランダムウォーク:

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \ \mu \ + \ P_{t-1} \ \ + \quad \epsilon_t$

価格変化は非ゼロ平均のホワイトノイズ:

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \mu \ \ + \ \ \epsilon_t$

ランダムウォークの統計的検定

ドリフト付きランダムウォーク

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \mu \ \ + \ \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

ランダムウォークの回帰検定

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

検定:

$\quad \quad \large H_0: \beta=1$（ランダムウォーク）

$\quad \quad \large H_1: \beta<1$（ランダムウォークでない）

ランダムウォークの統計的検定

ランダムウォークの回帰検定

$\large \quad \quad \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

以下と同値

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

検定:

$\quad \quad \large H_0: \beta=0$（ランダムウォーク）

$\quad \quad \large H_1: \beta<0$（ランダムウォークでない）

ランダムウォークの統計的検定

ランダムウォークの回帰検定

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

検定:

$\large \ \ \ \ H_0: \beta=0$（ランダムウォーク）

$\large \ \ \ \ H_1: \beta<0$（ランダムウォークでない）

この検定をディッキー・フラー検定と呼ぶ
右辺にラグ差分を追加したものが拡張ディッキー・フラー検定

PythonでのADF検定

statsmodelsからモジュールをインポート
```
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
```
拡張ディッキー・フラー検定を実行
```
adfuller(x)
```

例：S&P500はランダムウォークか？

# Run Augmented Dickey-Fuller Test on SPX data
results = adfuller(df['SPX'])

# Print p-value
print(results[1])

0.782253808587

# Print full results
print(results)

(-0.91720490331127869,
 0.78225380858668414,
 0,
 1257,
 {'1%': -3.4355629707955395,
  '10%': -2.567995644141416,
  '5%': -2.8638420633876671},
 10161.888789598503)

練習しましょう！

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