単純線形回帰

Pythonで学ぶ時系列解析

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

回帰とは？

単純線形回帰：

$\ \ \ \ y_t = \alpha + \beta x_t + \epsilon_t$

回帰とは？

最小二乗法（OLS）

回帰に使用するPythonパッケージ

statsmodelsの場合：

import statsmodels.api as sm
sm.OLS(y, x).fit()

numpyの場合：
```
np.polyfit(x, y, deg=1)
```
pandasの場合：
```
pd.ols(y, x)
```

scipyの場合：

from scipy import stats
stats.linregress(x, y)

注意：x と y の順序はパッケージによって異なります

例：大型株リターンに対する小型株リターンの回帰

statsmodelsモジュールをインポートする
```
import statsmodels.api as sm
```

両系列の変化率を計算する

df['SPX_Ret'] = df['SPX_Prices'].pct_change()
df['R2000_Ret'] = df['R2000_Prices'].pct_change()

回帰の切片用に定数をDataFrameに追加する
```
df = sm.add_constant(df)
```

回帰の例（続き）

最初の行のリターンがNaNであることに注意

            SPX_Price  R2000_Price   SPX_Ret  R2000_Ret
Date                                                     
2012-11-01  1427.589966   827.849976       NaN        NaN
2012-11-02  1414.199951   814.369995 -0.009379  -0.016283

NaNの行を削除する
```
  df = df.dropna()
```

回帰を実行する

  results = sm.OLS(df['R2000_Ret'],df[['const','SPX_Ret']]).fit()
  print(results.summary())

回帰の例（続き）

回帰の出力

切片は results.params[0]
傾きは results.params[1]

回帰の例（続き）

回帰の出力

R二乗と相関係数の関係

$ [\text{corr} (x,y)]^2 = R^2$（決定係数）
$ \text{sign(corr)} = \text{sign(regression slope)}$
前の例では：
- R二乗 = 0.753
- 傾きは正
- 相関係数 = $ + \sqrt{0.753} = 0.868$

練習しましょう！

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