凸の制約付き最適化

Pythonで学ぶOptimization入門

Jasmin Ludolf

Content Developer

凸の制約付き最適化

凸関数。

制約: 変数への制限
無差別曲線: 変数の組合せを表す
目的関数を最小化/最大化する無差別曲線上の点を探す

無差別曲線

暗い髪の若い女性がノートPCで作業している

フリーランスのソフトウェアエンジニア
仕事（$w$）と余暇（$l$）を重視

効用関数:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

無差別曲線を描く

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

無差別曲線

無差別曲線の可視化

Alexiaは$w$と$l$の具体的な組合せに無差別です

時間制約

1日は24時間
線形等式制約

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

制約をグラフに追加:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

無差別曲線と線形制約。最適な無差別曲線は制約に接する。接点では勾配は制約と接線に直交する。

SciPyで解く

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

練習しましょう！

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