一変数最適化

Pythonで学ぶOptimization入門

Jasmin Ludolf

Content Developer

例: 製造における最適化

 

目的関数:

$P = 40q - 0.5q^2$

  • 一変数: 変数が1つ

数量による利益の変化。

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例: 製造における最適化

 

目的関数:

$P = 40q - 0.5q^2$

  • 一変数: 変数は1つ

数量による利益の変化。

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導関数の計算

 

目的関数:

$P = 40q - 0.5q^2$

導関数: 傾きの変化を表す

$\frac{dP}{dq} = 40 - q$

from sympy import symbols, diff, solve


q = symbols('q')

P = 40 * q - 0.5 * q**2

dp_dq = diff(P)

print(f"The derivative is: {dp_dq}")

The derivative is: 40 - 1.0*q
1 https://docs.sympy.org/latest/index.html
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停留点

導関数が0の点で最適

  • 停留点: 導関数が0の点

最適な $q$ は次を満たす:

$\frac{dP}{dq} = 40 - q = 0$

q_opt = solve(dp_dq)
print(f"Optimum quantity: {q_opt}")

Optimum quantity: [40.0000000000000]
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極大・極小・どちらでもない？

 

数量による利益の変化。

 

目的関数:

$p = 40q - 0.5q^2$

q_opt = solve(p_prime)
print(f"Optimum quantity: {q_opt}")

Optimum quantity: [40.0000000000000]
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凸性と凹性

 

凹関数。

  • 極大

 

凸関数。

  • 極小
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二階微分

 

  • 導関数の導関数
  • 変数変化に伴う傾きの変化率

 

  • 点での2階微分が $< 0$: 極大
  • 点での2階微分が $> 0$: 極小
  • 点での2階微分が $= 0$: どちらでもない

数量による利益の変化。

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例: 極大・極小・どちらでもない？

 

一次導関数:

$\frac{dp}{dq} = 40 - q$

 

二階導関数:

$\frac{d^2p}{dq^2} = -1 < 0$

  • 極大！

 

d2p_dq2 = diff(dp_dq)

sol = d2p_dq2.subs('q', q_opt)


print(f"The 2nd derivative is: {sol}")

The 2nd derivative is: -1.0000000000000
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最適化における微分

 

  • 一次導関数
    • 最適化で停留点を見つける
  • 二階導関数
    • 極小か極大かを判定
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練習しましょう！

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