カテゴリ変数と交互作用項

Pythonで学ぶ一般化線形モデル

Ita Cirovic Donev

Data Science Consultant

カテゴリ変数

説明変数
- $x_1$: カテゴリ（二値）
- $x_2$: 連続
ロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{X})=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2\color{red}{x_2} $$

説明変数
- $x_1$: カテゴリ（二値）
- $x_2$: 連続
ロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2x_2 $$
$x_1=0$ のとき $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=0},x_2)=\beta_0 + \color{red}{0} + \beta_2x_2 $$

説明変数
- $x_1$: カテゴリ（二値）
- $x_2$: 連続
ロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2x_2 $$
$x_1=0$ のとき $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\beta_0 + 0 + \beta_2x_2 $$
$x_1=1$ のとき $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=\beta_0 + \color{red}{\beta_1} + \beta_2x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=(\beta_0 + \color{red}{\beta_1}) + \beta_2x_2 $$

交互作用なし（平行な直線）の可視化。

交互作用なしモデルでの切片差の強調。

交互作用なしモデル

非平行な直線により交互作用項が必要なモデル。

傾きが異なる → 交互作用 の存在
$x_1$ の効果は $x_2$ の水準に依存（逆も同様）
交互作用を許すロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \color{red}{\beta_3x_1x_2} $$

傾きが異なる → 交互作用 の存在
$x_1$ の効果は $x_2$ の水準に依存（逆も同様）
交互作用を許すロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
$x_1=0$ のとき $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=0},x_2)=\beta_0 + \color{red}{0} + \beta_2x_2 + \color{red}{0} $$

傾きが異なる → 交互作用 の存在
$x_1$ の効果は $x_2$ の水準に依存（逆も同様）
交互作用を許すロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
$x_1=0$ のとき $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\beta_0 + \beta_2x_2 $$
$x_1=1$ のとき $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=\beta_0 + \color{red}{\beta_1} + \beta_2x_2 + \color{red}{\beta_3}x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=(\beta_0 + \color{red}{\beta_1}) + (\beta_2 + \color{red}{\beta_3})x_2 $$

傾きが異なる → 交互作用 の存在
$x_1$ の効果は $x_2$ の水準に依存（逆も同様）
交互作用を許すロジスティックモデル $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
$x_1=0$ のとき $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\color{red}{\beta_0} + \color{red}{\beta_2}x_2 $$
$x_1=1$ のとき $$ \text{logit}(y=1|x_1=1,x_2)=\beta_0 + \beta_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|x_1=1,x_2)=\color{red}{(\beta_0 + \beta_1)} + \color{red}{(\beta_2 + \beta_3)}x_2 $$

交互作用項ありのモデル（非平行な直線）の図示。

交互作用により:

Pythonで学ぶ一般化線形モデル