確率質量関数と分布関数

Pythonで学ぶ確率の基礎

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

確率質量関数 (pmf)

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{k}}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}\color{red}{p^k}(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k\color{red}{(1-p)^{n-k}} $$

10回のコイントス（公平）における二項分布の確率質量関数

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

In Python:

binom.pmf(k, n, p)

# 公平なコインを10回投げて表が2回の確率
binom.pmf(k=2, n=10, p=0.5)

0.04394531249999999

# 公平なコインを10回投げて表が5回の確率
binom.pmf(k=5, n=10, p=0.5)

0.24609375000000025

# p=0.3 で100回投げて表が50回の確率
binom.pmf(k=50, n=100, p=0.3)

1.3026227131445298e-05

# p=0.7 で100回投げて表が65回の確率
binom.pmf(k=65, n=100, p=0.7)

0.0467796823527298

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{0}p^0(1-p)^{n}} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \color{red}{\binom{n}{1}p(1-p)^{n-1}} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \color{red}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} $$

$$ $$ 10回のコイントス（公平）における二項分布の確率質量関数

$$ $$ 正規分布の累積分布関数

$$ $$ $$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

In Python:

binom.cdf(k=1, n=3, p=0.5)

# 公平なコインを10回投げて表が5回以下の確率
binom.cdf(k=5, n=10, p=0.5)

0.6230468749999999

# p=0.3 で100回投げて表が50回以下の確率
binom.cdf(k=50, n=100, p=0.3)

0.9999909653138043

# p=0.7 で100回投げて表が59回より多い確率
1-binom.cdf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

# p=0.7 で100回投げて表が59回より多い確率
binom.sf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

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