ベイズの定理

Pythonで学ぶ確率の基礎

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

コイン2回の確率

独立事象の P(A and B)

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

従属事象の P(A and B)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

従属事象の P(A and B)（続き）

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) は P(B and A) と等しい

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A and B) は P(B and A) と等しい（続き）

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

ベイズの関係式

$$ $$

ベイズの定理

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

全確率

全ベンダーの不良品のヴェン図

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

全確率（続き）

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

全確率（続き）

全ベンダーの不良品のヴェン図

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの公式

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

ベイズの公式（続き）

ベイズの公式:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

不良品であるとき、ベンダー i 由来である確率:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

ベイズの公式（続き）

ベイズの公式: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
不良品であるとき、ベンダー i 由来である確率:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化

全ベンダーの不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1と2の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1、2、3の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1、2、3の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1、2、3の不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1の不良品／全ベンダーの不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

ベイズの定理の可視化（続き）

ベンダー1の不良品／全ベンダーの不良品のヴェン図

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

工場と部品の例（Python）

ある電子部品は3社のベンダー V1、V2、V3 が製造する。

V1 が全体の半分、V2 と V3 が各25%を生産。不良率は V1 が1%、V2 が2%、V3 が3%。

不良と分かったとき、その部品が V1 製である確率は？

工場と部品の例（Python 続き）

不良と分かったとき、その部品が V1 製である確率を求める。

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

工場と部品の例（Python 続き）

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

不良品を無作為に1つ取ると、それが V1 製である確率は:

0.285714285714

ベイズで練習しよう

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