ARCH と GARCH とは

Pythonで学ぶGARCHモデル

Chelsea Yang

Data Science Instructor

最初は ARCH

  • Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity（条件付き自己回帰不均一分散）

  • Robert F. Engle により提案（2003年ノーベル賞）

Robert F. Engle の写真

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その後に GARCH

  • 「一般化」ARCH

  • Tim Bollerslev により提案（Robert F. Engle の弟子）

Tim Bollerslev の写真

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関連する統計用語

ホワイトノイズ（z）： 平均0・有限分散の無相関な確率変数

ホワイトノイズのプロット

残差 = 予測値 − 観測値

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モデルの記法

期待リターン： $$ \mu_t = Expected[r_t | I(t-1)] $$

 

残差（予測誤差）： $$ r_t = \mu_t + \epsilon_t $$

期待ボラティリティ： $$\sigma^2 = Expected[(r_t - \mu_t)^2 | I(t-1)]$$

 

ボラティリティと残差の関係： $$ \epsilon_t = \sigma_t * \zeta (WhiteNoise)$$

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モデル方程式：ARCH

ARCH モデルの方程式

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モデル方程式：GARCH

GARCH モデルの方程式

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モデルの直観

  • 自己回帰：過去の挙動から将来を予測

  • ボラティリティは過去情報の加重平均

モデルの直観

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GARCH(1,1) のパラメータ制約

GARCH(1,1) を現実的にする条件：

  • すべてのパラメータは非負（分散が負にならない）

$$\omega, \alpha, \beta >= 0 $$

  • 推定は長期分散へ平均回帰

$$\alpha + \beta <1$$

長期分散：$$\omega / (1-\alpha - \beta)$$

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GARCH(1,1) のパラメータ動学

  • $\alpha$ が大きいほど、ショックの即時影響が大きい
  • $\beta$ が大きいほど、影響の持続が長い
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Let's practice!

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