線形回帰の技術的条件

R による線形回帰の推測

Jo Hardin

Professor, Pomona College

技術的条件とは？

$$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$$

$$\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$$

L: 線形モデル
I: 独立した観測値
N: 点が直線の周りに正規分布している
E: 説明変数の全ての値で等しい分散

線形モデル：残差

linear_lm <- augment(
  lm(response ~ explanatory,
     data = lineardata)
)

ggplot(linear_lm,
       aes(x =. fitted, y = .resid)) +
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept=0)

当てはめ値: $\hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i$

残差: $e_i= Y_i - \hat{Y}_i$

非線形

$$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$$

$$\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$$

L: 線形モデル
I: 独立した観測値
N: 点が直線の周りに正規分布している
E: 説明変数の全ての値で等しい分散

非線形：残差

nonlinear_lm <- augment(
  lm(response ~ explanatory,
     data = nonlineardata))
ggplot(nonlinear_lm, 
       aes(x = .fitted, y = .resid)) + 
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept=0)

当てはめ値: $\hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i$

残差: $e_i= Y_i - \hat{Y}_i$

正規性なし

$$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$$

$$\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$$

L: 線形モデル
I: 独立した観測値
N: 点が直線の周りに正規分布している
E: 説明変数の全ての値で等しい分散

正規性なし：残差

nonnormal_lm <- augment(
  lm(response ~ explanatory, 
     data = nonnormaldata))
ggplot(nonnormal_lm, 
      aes(x = .fitted, y = .resid)) + 
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept = 0)

当てはめ値: $\hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i$

残差: $e_i= Y_i - \hat{Y}_i$

等分散性なし

$$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$$

$$\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$$

L: 線形モデル
I: 独立した観測値
N: 点が直線の周りに正規分布している
E: 説明変数の全ての値で等しい分散

等分散性なし：残差

nonequal_lm <- augment(
  lm(response ~ explanatory, 
     data = nonequaldata))
ggplot(nonequal_lm, 
       aes(x = .fitted, y = .resid)) + 
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept = 0)

当てはめ値: $\hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i$

残差: $e_i= Y_i - \hat{Y}_i$

練習しましょう！

R による線形回帰の推測