変換変数に関する推測
R による線形回帰の推測
Jo Hardin
Professor, Pomona College
係数の解釈 - 線形
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$、ただし $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[Y_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[Y_{X+1}] - E[Y_X]$
係数の解釈 - 非線形X
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$、ただし $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[Y_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[Y_{\ln(X)+1}] - E[Y_{\ln(X)}]$
係数の解釈 - 非線形Y
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$、ただし $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[\ln(Y)_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{X+1}] - E[\ln(Y)_X]$
係数の解釈 - XY両方非線形
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$、ただし $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
係数の解釈 - 両方自然対数（特殊ケース）
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$、ただし $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
または（$X$ と $Y$ の両方に自然対数変換を適用した場合）：
$\beta_1 = $ $X$ が1%変化したときの $Y$ の変化率（%）
練習しましょう！
R による線形回帰の推測
