極値理論

Pythonで学ぶ定量的リスク管理

Jamsheed Shorish

Computational Economist

極端値

ポートフォリオ損失: 極端値

極端値: 分布のテール由来
- テール損失: ある値を超える損失
- テール損失をモデル化 ⇒ リスク管理の精度向上

極値理論

極値理論: 極端値の統計分布
ブロック最大

0 から T までの線分

極値理論

極値理論: 極端値の統計分布
ブロック最大:
- 期間を小区間に分割

0 から T の線分を小区間に分割

極値理論

極値理論: 極端値の統計分布
ブロック最大:
- 期間を小区間に分割
- 各小区間からブロックを作成

ブロックを示す線分

極値理論

極値理論: 極端値の統計分布
ブロック最大:
- 期間を小区間に分割
- 各小区間からブロックを作成
- ブロック最大の集合＝データセット
閾値超過法 (POT):
- 与えた水準を超える損失を抽出
- それらの損失の集合＝データセット

各ブロックとブロック内最大損失の区間

一般化極値分布

例: 2007〜2009 のブロック最大
- 望む周期で損失をリサンプリング（例: 週次）
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
一般化極値分布 (GEV)
- データの最大値の分布
- 例: scipy.stats.genextreme による母数推定
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

GEV からの VaR と CVaR

GEV からの 99% VaR
- .ppf()（百分点関数）で 99% VaR を算出
- 当てはめた GEV の params が必要
- 1週間の最大損失（信頼水準99%）を求める
GEV からの 99% CVaR
- CVaR は VaR を最小損失とした条件付き期待損失
- .expect() で期待値を算出

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

損失のカバー

リスク管理: 損失をカバーする
- 規制要件（銀行・保険）
- 損失を賄う準備金が必要
  - 指定期間（例: 1週間）
  - 指定信頼水準（例: 99%）
GEV による VaR:
- 次を満たす最大損失を推定
  - 指定期間
  - 指定信頼水準

損失のカバー

例: 初期ポートフォリオ価値 = $1,000,000
1週間の準備金要件（信頼水準99%）
- GEV の $\text{VaR}_{99}$: 1週間の最大損失（99%）
準備金要件: ポートフォリオ価値 × $\text{VaR}_{99}$
- 例: $\text{VaR}_{99}$ = 0.10（最大損失10%）
- 準備金要件 = $100,000
ポートフォリオ価値が変動 ⇒ 準備金要件も変動
規制が更新頻度を定める

Ayo berlatih!

Pythonで学ぶ定量的リスク管理

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