指数平滑予測

Rで学ぶ予測入門

Rob J. Hyndman

Professor of Statistics at Monash University

単純指数平滑法

予測の記法： $\hat y_{t + h \vert t} =$ 与えられたデータ $y_1,...,y_t$ に基づく $\ \hat y_{t + h}$ の点予測

予測式： $\hat y_{t + h \vert t} = \alpha y_t + \alpha (1-\alpha ) y_{t-1} + \alpha (1-\alpha )^2 y_{t-2} +...$

$$ただし\ 0 \leq \alpha \leq 1 $$

単純指数平滑法

観測	$\alpha$ = 0.2	$\alpha$ = 0.4	$\alpha$ = 0.6	$\alpha$ = 0.8
$y_t$	0.2	0.4	0.6	0.8
$y_{t-1}$	0.16	0.24	0.24	0.16
$y_{t-2}$	0.128	0.144	0.096	0.032
$y_{t-3}$	0.1024	0.0864	0.0384	0.0064
$y_{t-4}$	(0.2)(0.8)$^4$	(0.4)(0.6)$^4$	(0.6)(0.4)$^4$	(0.8)(0.2)$^4$
$y_{t-5}$	(0.2)(0.8)$^5$	(0.4)(0.6)$^5$	(0.6)(0.4)$^5$	(0.8)(0.2)$^5$

単純指数平滑法

構成形
予測式	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t$
平滑化式	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}$

$\ell_t$ は時点 $t$ の水準（平滑値）
$\alpha$ と $\ell_0$ は SSE 最小化で推定：

$$SSE = \sum_{t=1}^T (y_t - \hat y_{t\vert t-1})^2$$

例：石油生産

oildata <- window(oil, start = 1996)    # Oil Data
fc <- ses(oildata, h = 5)               # Simple Exponential Smoothing
summary(fc)

Forecast method: Simple exponential smoothing
Model Information:
Simple exponential smoothing
Call:
 ses(y = oildata, h = 5)
  Smoothing parameters:
    alpha = 0.8339
  Initial states:
    l = 446.5759
  sigma:  28.12
*** Truncated due to space

例：石油生産

autoplot(fc) +
  ylab("Oil (millions of tonnes)") + xlab("Year")

練習してみましょう！

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