トレンド付き指数平滑法

Rで学ぶ予測入門

Rob J. Hyndman

Professor of Statistics at Monash University

Holt の線形トレンド

	単純指数平滑
予測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t$
レベル	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}$

	Holt の線形トレンド
予測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
レベル	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
トレンド	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

Holt の線形トレンド

	Holt の線形トレンド
予測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
レベル	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
トレンド	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

平滑化係数は $\alpha$ と $\beta^*$（$0 \leq \alpha, \beta^* \leq 1$）
$\alpha, \beta^*, \ell_0, b_0$ を選び SSE を最小化

R による Holt 法

airpassengers %>% holt(h = 5) %>% autoplot

減衰トレンド法

成分形
$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + (\phi + \phi^2 + ... + \phi^h)b_t$
$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + \phi b_{t-1})$
$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) \phi b_{t-1}$

減衰係数 $\ 0 < \phi < 1$
$\ \phi = 1$ なら Holt の線形トレンドと同一
短期はトレンド、長期は一定に収束

例: 航空旅客数

fc1 <- holt(airpassengers, h = 15, PI = FALSE)
fc2 <- holt(airpassengers, damped = TRUE, h = 15, PI = FALSE)
autoplot(airpassengers) + xlab("Year") + ylab("millions") +
  autolayer(fc1, series="Linear trend") +
  autolayer(fc2, series="Damped trend")

演習に進みましょう！

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