ワイブルモデルの当てはめ

Pythonで学ぶSurvival Analysis

Shae Wang

Senior Data Scientist

確率分布

さまざまな結果の確率を表す数学関数。

正規分布

確率分布

さまざまな結果の確率を表す数学関数。

一様分布

ワイブル分布の導入

ワイブル分布

連続型の確率分布で、時間-事象データのモデル化に適する（元は粒度分布のモデル化に適用）。

ワイブル確率密度関数

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}$$ $$x\geq0,k>0,\lambda>0$$

ワイブル分布の導入

$k$

形状を決める

k の変化

$\lambda$

尺度を決める

λ の変化

データへのワイブル分布の当てはめ

ある企業は故障しやすい機械群を保守しています…

機械故障のヒストグラム

データへのワイブル分布の当てはめ

ある企業は故障しやすい機械群を保守しています…

機械故障とワイブル

ワイブル分布から生存関数へ

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad\qquad\qquad S(t)=e^{-(t/\lambda)^\rho}$$

ワイブルから生存関数へ

$\rho$ は k と同じ

調整パラメータ: k と λ

k と $\lambda$

k（または $\rho$）: 形状を決める
$\lambda$: 尺度を決める（母集団の63.2%が事象を経験する時点）

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad f(x;\lambda,k=3)=\frac{3}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^2e^{-(x/\lambda)^3}$$

ワイブル分布: 故障/事象率は時間のべきに比例。

k（または $\rho$）の解釈

k<1、事象率は減少

$k<1$ のとき、故障/事象率は時間とともに低下。

k（または $\rho$）の解釈

k=1、事象率は一定

$k=1$ のとき、故障/事象率は時間に対して一定。

k（または $\rho$）の解釈

k>1、事象率は増加

$k>1$ のとき、故障/事象率は時間とともに上昇。

ワイブル分布で生存分析

WeibullFitter クラスをインポート
```
from lifelines import WeibullFitter
```
WeibullFitter を生成
```
wb = WeibullFitter()
```
.fit() でデータに当てはめ
```
wb.fit(durations, event_observed)
```
.survival_function_, .lambda_, .rho_, .summary, .predict() を参照

ワイブルモデルの例

DataFrame 名: mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
1000	30	1

from lifelines import WeibullFitter
wb = WeibullFitter()

wb.fit(durations=mortgage_df["duration"],
       event_observed=mortgage_df["paid_off"])

ワイブルモデルの例

wb.survival_function_.plot()
plt.show()

例: ワイブルの生存曲線

print(wb.lambda_, wb.rho_)

6.11  0.94

print(wb.predict(20))

0.05

Passons à la pratique !

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