カプラン–マイヤー推定量の当てはめ
Pythonで学ぶSurvival Analysis
Shae Wang
Senior Data Scientist
カプラン–マイヤー推定量とは
イベント発生までの時間データの生存関数を推定するノンパラメトリック統計量。
- 別名
- 積限制限推定量（product-limit estimator）
- K–M 推定量
- ノンパラメトリック: 観測データから生存曲線を構築し、分布仮定を置かない
数理的な直観
定義:
- $t_i$: ある時点の継続時間
- $d_i$: 時点 $t_i$ に発生したイベント数
- $n_i$: 時点 $t_i$ まで生存が確認された個体数
生存関数 $S(t)$ の推定: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
積限制限推定量と呼ぶ理由
イベントが 1, 2, 3 の3時点で発生するとする。
$t=2$ の生存率: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
$t=3$ の生存率: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
時点 t の生存率は、t およびそれ以前各時点の生存確率の積に等しい。
留意すべき仮定
- 明確なイベント: 関心のイベントが明確な時点で発生する。
- 生存確率の比較可能性: 参加時期に依存せず比較できる。
- 非情報的検閲: 検閲例は追跡継続例と同じ生存見込みを持つ。
lifelines でのカプラン–マイヤー推定
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: lifelines ライブラリのクラス
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
住宅ローンの例
DataFrame 名: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
住宅ローンの例
DataFrame 名: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
カプラン–マイヤー推定量の活用
未返済ローンの中央値は?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
開始後、各年にローンが未返済である確率は?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
カプラン–マイヤー推定量の活用
開始後34年時点で未返済である確率は?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
利点と制約
利点
- 生存確率の解釈が直感的。
- 任意の生存時間データに柔軟に適用可能。
- 生存時間解析で最初に試すモデルとして有用。
制約
- 生存曲線が滑らかでない。
- 検閲が50%以上だと
.median_survival_time_は計算不可。 - 共変量の影響解析には不向き。
Ayo berlatih!
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